Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.

Passo 1

Então, temos um problema de Cauchy que é basicamente um tipo de equação diferencial inicial. O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Vamos verificar se esse problema é de Cauchy, estudar se existe uma solução única e, se for o caso, encontrar um subconjunto aberto de onde isso acontece. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições que garantem a existência e unicidade das soluções, como o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma do problema que temos. A equação diferencial é:
e a condição inicial é . Isso significa que procuramos uma função que satisfaz essa equação e que, quando , vale 1.

Passo 3

Para verificar se é um problema de Cauchy, precisamos que a função do lado direito da equação diferencial, que chamaremos de , seja contínua e que sua derivada parcial em relação a também seja contínua em um certo domínio. Aqui, .

Passo 4

Vamos verificar a continuidade de e de :
Ambas as funções são polinomiais e, portanto, são contínuas em todo .

Passo 5

Como e são contínuas em todo o plano, podemos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos garante que, dado um ponto inicial, existe uma solução única para o problema de Cauchy em um intervalo aberto ao redor desse ponto.

Passo 6

Agora, precisamos determinar um subconjunto aberto de onde a solução existe e é única. Como as funções são contínuas em todo lugar, podemos escolher um aberto que contenha o ponto inicial . Por exemplo, podemos escolher um círculo aberto centrado em com raio 1:
Esse conjunto é aberto e garante que as condições do teorema sejam satisfeitas.

Resposta

Sim, o problema é de Cauchy e admite uma solução única. Um subconjunto aberto de onde isso é garantido é:

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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
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