Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Cauchy, que basicamente é uma equação diferencial com uma condição inicial. A matéria que vamos usar é sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, especificamente usando o Teorema de Picard-Lindelöf. Vamos precisar verificar se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções na nossa equação. Temos:
E a condição inicial é .
Aqui, a função que define a derivada de em relação a é:
Precisamos verificar se é contínua e se é satisfatória a condição de Lipschitz em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de . As funções e são contínuas para todo e reais. Além disso, também é uma função polinomial contínua. Então, é contínua em todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a . Para isso, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Queremos que essa derivada seja limitada em um subconjunto aberto de . Observamos que está sempre entre -1 e 1, e também é limitado. Então, se restringirmos a um intervalo fechado (por exemplo, ), a derivada parcial será limitada, garantindo a condição de Lipschitz.

Passo 5

Com isso, podemos concluir que existe um subconjunto aberto de onde o Teorema de Picard-Lindelöf se aplica, garantindo existência e unicidade da solução. Um bom exemplo desse subconjunto é:
onde é uma constante positiva que limita .

Resposta

Sim, o problema é de Cauchy. Um subconjunto aberto de onde a existência e unicidade da solução são garantidas é:

Exercícios relacionados

Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Calcule , ao longo da circunferência , no sentido horário, sendo .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,