Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Cauchy, que basicamente é uma equação diferencial com uma condição inicial. A matéria que vamos usar é sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, especificamente usando o Teorema de Picard-Lindelöf. Vamos precisar verificar se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções na nossa equação. Temos:
E a condição inicial é
.
Aqui, a função que define a derivada de
em relação a
é:
Precisamos verificar se
é contínua e se é satisfatória a condição de Lipschitz em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
. As funções
e
são contínuas para todo
e
reais. Além disso,
também é uma função polinomial contínua. Então,
é contínua em todo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a
. Para isso, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Queremos que essa derivada seja limitada em um subconjunto aberto de
. Observamos que
está sempre entre -1 e 1, e
também é limitado. Então, se restringirmos
a um intervalo fechado (por exemplo,
), a derivada parcial será limitada, garantindo a condição de Lipschitz.
Passo 5
Com isso, podemos concluir que existe um subconjunto aberto de
onde o Teorema de Picard-Lindelöf se aplica, garantindo existência e unicidade da solução. Um bom exemplo desse subconjunto é:
onde
é uma constante positiva que limita
.
Resposta
Sim, o problema é de Cauchy. Um subconjunto aberto de
onde a existência e unicidade da solução são garantidas é:
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Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
Calcule
, ao longo da circunferência
, no sentido horário, sendo
.
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,