Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a integração direta, já que está na forma
. Vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas e usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está sendo integrada:
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que pode ajudar aqui:
Então, substituindo na expressão:
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação diferencial com essa simplificação:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Sabemos que a integral de
é
, mas precisamos considerar a substituição
. Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando a
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
Calcule
, ao longo da circunferência
, no sentido horário, sendo
.
Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.