Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a integração direta, já que está na forma
. Vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas e usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está sendo integrada:
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que pode ajudar aqui:
Então, substituindo na expressão:
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação diferencial com essa simplificação:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Sabemos que a integral de
é
, mas precisamos considerar a substituição
. Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando a
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: