Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar a integração direta, já que está na forma . Vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas e usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está sendo integrada:
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que pode ajudar aqui:
Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação diferencial com essa simplificação:
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Sabemos que a integral de é , mas precisamos considerar a substituição . Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando a :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
Calcule , ao longo da circunferência , no sentido horário, sendo .
Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.