Calcule ointC F cdot d r, onde F(x, y)=(2 x^2+3 y, 7 x+y^3) e C é a fronteira positivamente orientada de uma região D que possui área 5 .

Passo 1

Entendendo o problema: A gente precisa calcular a integral de linha ointC F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y) = (2x^2+3y, 7x+y^3). A curva C é a fronteira de uma região D com área 5 e está orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário).
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita.
O que precisamos: Conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla mais simples de calcular.

Passo 2

Teorema de Green na prática: O Teorema de Green diz que:
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
No nosso caso, F = (P, Q) = (2x^2+3y, 7x+y^3).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Primeiro, encontramos partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x(7x + y^3) = 7
  • Depois, encontramos partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y(2x^2 + 3y) = 3

Passo 4

Substituindo no Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 7 - 3 ) dx,dy = integral duplaD 4,dx,dy

Passo 5

Calculando a integral dupla:
Sabemos que a área da região D é 5. Então:
integral duplaD 4,dx,dy = 4 times Área de D = 4 times 5 = 20 Á

Resposta

O valor da integral ointC F cdot d r é 20.

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