Calcule , onde e é a fronteira positivamente orientada de uma região que possui área 5 .

Passo 1

Entendendo o problema: A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a fronteira de uma região com área 5 e está orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário).
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita.
O que precisamos: Conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla mais simples de calcular.

Passo 2

Teorema de Green na prática: O Teorema de Green diz que:
No nosso caso, .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Primeiro, encontramos :
  • Depois, encontramos :

Passo 4

Substituindo no Teorema de Green:

Passo 5

Calculando a integral dupla:
Sabemos que a área da região é 5. Então:
Á

Resposta

O valor da integral é 20.

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada por um arco do cicloide .
Escreva uma árvore dedutiva cuja conclusão seja a fórmula proposicional .
Um objeto de massa está caindo verticalmente pela ação da gravidade, saindo do repouso. Estabeleça o problema de valor inicial e resolva a questão.
Seja um polinômio sobre . Prove que se é uma raíz de e , então é uma raíz de .