Calcule
, onde
e
é a fronteira positivamente orientada de uma região
que possui área 5 .
Passo 1
Entendendo o problema: A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
. A curva
é a fronteira de uma região
com área 5 e está orientada positivamente (ou seja, no sentido anti-horário).
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita.
O que precisamos: Conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla mais simples de calcular.
Passo 2
Teorema de Green na prática: O Teorema de Green diz que:
No nosso caso,
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Primeiro, encontramos
:
- Depois, encontramos
:
Passo 4
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 5
Calculando a integral dupla:
Sabemos que a área da região
é 5. Então:
Resposta
O valor da integral
é 20.