Seja um polinômio sobre . Prove que se é uma raíz de e , então é uma raíz de .

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: Temos um polinômio com coeficientes complexos ( ). Sabemos que é uma raiz desse polinômio, ou seja, quando substituímos em , o resultado é zero ( ). O que a gente quer provar é que também é uma raiz do polinômio , onde é qualquer número complexo.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de raiz de polinômio e ver como funciona a multiplicação de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma raiz de . Isso quer dizer que, se a gente substituir por em , o resultado será zero:

Passo 3

Agora, vamos analisar o polinômio . A gente quer saber se também é uma raiz desse novo polinômio. Para isso, vamos substituir por na expressão :

Passo 4

Sabemos já que . Então, substituindo na expressão acima:

Passo 5

Como o resultado da substituição é zero, isso confirma que faz com que seja igual a zero quando . Ou seja, é uma raiz de .

Resposta

é uma raiz de .

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