Seja
um polinômio sobre
. Prove que se
é uma raíz de
e
, então
é uma raíz de
.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: Temos um polinômio
com coeficientes complexos (
). Sabemos que
é uma raiz desse polinômio, ou seja, quando substituímos
em
, o resultado é zero (
). O que a gente quer provar é que
também é uma raiz do polinômio
, onde
é qualquer número complexo.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de raiz de polinômio e ver como funciona a multiplicação de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser uma raiz de
. Isso quer dizer que, se a gente substituir
por
em
, o resultado será zero:
Passo 3
Agora, vamos analisar o polinômio
. A gente quer saber se
também é uma raiz desse novo polinômio. Para isso, vamos substituir
por
na expressão
:
Passo 4
Sabemos já que
. Então, substituindo na expressão acima:
Passo 5
Como o resultado da substituição é zero, isso confirma que
faz com que
seja igual a zero quando
. Ou seja,
é uma raiz de
.