Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada por um arco do cicloide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green para encontrar a área da região que está delimitada por um arco da cicloide definida por e . O Teorema de Green nos ajuda a relacionar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla na região que ela delimita. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema à nossa situação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada e uma região que ela delimita, temos:
Para calcular a área, podemos escolher e . Assim, a fórmula simplifica para:
Á
Então, nossa estratégia será calcular a integral de linha ao longo da curva da cicloide.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva usando a parametrização dada:
onde varia de a para completar um ciclo completo da cicloide. Calculamos a derivada de em relação a :
Assim, a integral de linha fica:

Passo 4

Vamos agora resolver a integral:
Podemos separar em duas integrais:
Para a primeira integral, usamos integração por partes, onde e . Isso nos dá:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliando de a :
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica :
Então, a integral total fica:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelo arco da cicloide é unidades quadradas.

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