Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões
abaixo.
é delimitada por um arco do cicloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green para encontrar a área da região
que está delimitada por um arco da cicloide definida por
e
. O Teorema de Green nos ajuda a relacionar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla na região que ela delimita. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema à nossa situação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
e uma região
que ela delimita, temos:
Para calcular a área, podemos escolher
e
. Assim, a fórmula simplifica para:
Então, nossa estratégia será calcular a integral de linha
ao longo da curva da cicloide.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
usando a parametrização dada:
onde
varia de
a
para completar um ciclo completo da cicloide. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Assim, a integral de linha fica:
Passo 4
Vamos agora resolver a integral:
Podemos separar em duas integrais:
Para a primeira integral, usamos integração por partes, onde
e
. Isso nos dá:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliando de
a
:
Para a segunda integral, usamos a identidade trigonométrica
:
Então, a integral total fica:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região
delimitada pelo arco da cicloide é
unidades quadradas.
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.
Utilize o Teorema de Green para calcular a
(verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema).
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orientado no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
e
é a fronteira positivamente orientada de uma região
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