Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto (1,1,1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação do plano tangente à superfície no ponto (1, 1, 1). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso nos ajudará a entender como a superfície se comporta perto do ponto dado.
A função que temos é:
Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos avaliar essas derivadas no ponto específico (1, 1, 1).
Para em (1,1):
Para em (1,1):

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (1, 1, 1) é:

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Determine as derivadas parciais para a função
Calcule
onde e é a curva obtida como interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário.
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