Consideremos o campo vetorial H(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j (definido para (x, y) in R^2 backslash(0,0)).
(a) Mostre que ointC H cdot d r=2 pi, onde C é a circunferência centrada na origem e de raio a.
(b) Conclua que o campo H não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)

Passo 1

Vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve um campo vetorial . A primeira parte pede para mostrar que a integral de linha desse campo ao longo de uma circunferência centrada na origem e de raio é igual a . A segunda parte quer que a gente conclua que esse campo não é conservativo, ou seja, não existe uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e propriedades de campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma acumulada de um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é uma circunferência de raio ao redor da origem.

Passo 3

Vamos parametrizar a circunferência x = a cos theta e y = a sin theta . Podemos usar coordenadas polares, onde qualquer ponto na circunferência pode ser descrito por:
Aqui, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os diferenciais dx = -a sin theta , dtheta e dy = a cos theta , dtheta e em termos de :

Passo 5

Substituindo H cdot dr = Hx , dx + Hy , dy = ( -ya^2 )(-a sin theta , dtheta) + ( xa^2 )(a cos theta , dtheta) , H cdot dr = y cdot a sin thetaa^2 dtheta + x cdot a cos thetaa^2 dtheta = a sin^2 thetaa^2 dtheta + a cos^2 thetaa^2 dtheta = sin^2 theta + cos^2 thetaa dtheta , e na expressão do campo , temos:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que H cdot dr = 1a dtheta , então:
ointC H cdot dr = integral0^2pi 1a dtheta = 1a cdot 2pi = 2pia
Agora, a integral ao longo da circunferência é:
Parece que ficou , mas vamos verificar se há algum erro.

Passo 7

Ah, percebi o erro! No campo H cdot dr = 1a^2 cdot a cdot dtheta = 1a cdot dtheta , o denominador é ointC H cdot dr = 1a cdot integral0^2pi dtheta = 1a cdot 2pi = 2pia , então realmente:
Ao integrar:
Mas o enunciado pede , então deve haver algo faltando. Vamos revisar.

Passo 8

Na verdade, o campo H(x, y) = -yx^2+y^2 i + xx^2+y^2 j está definido como:
H(x, y) = -a sin thetaa^2 i + a cos thetaa^2 j = -sin thetaa i + cos thetaa j
Para a circunferência dr = dx i + dy j = -a sin theta , dtheta i + a cos theta , dtheta j , substituindo:
H cdot dr = ( -sin thetaa )(-a sin theta) + ( cos thetaa )(a cos theta) = sin^2 theta + cos^2 theta = 1
Então, o diferencial de posição ointC H cdot dr = integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi é:
O produto escalar é:
Então, a integral se torna:

Passo 9

Agora, para a parte (b), precisamos mostrar que o campo não é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado for zero. No nosso caso, já vimos que para a circunferência , a integral é , que não é zero. Portanto, por contradição, o campo não pode ser conservativo.

Resposta

O campo não é conservativo.

Exercícios relacionados

Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = x^4 * y^3 + 4 * x^2 * y
(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.
Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força F mover uma partícula:
(a) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C1 é de 1,2 J;
(b) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C2 é de 1,4 J.
O que você dizer sobre F ? Por quê?
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto do ponto P para o ponto Q.
(a) F(x, y) = tg(y) * i + x * sec^2(y) * j, P = (1, 0) e Q = (2, pi / 4).
(b) F(x, y) = 2 y^(3/2) i + 3 x raiz(y) j, P = (1, 1) e Q = (2, 4).