Consideremos o campo vetorial
(definido para
.
(a) Mostre que
, onde
é a circunferência centrada na origem e de raio
.
(b) Conclua que o campo
não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)
(a) Mostre que
(b) Conclua que o campo
Passo 1
Vamos lá! O exercício tem duas partes e envolve um campo vetorial
. A primeira parte pede para mostrar que a integral de linha desse campo ao longo de uma circunferência
centrada na origem e de raio
é igual a
. A segunda parte quer que a gente conclua que esse campo não é conservativo, ou seja, não existe uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e propriedades de campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula a soma acumulada de um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva
é uma circunferência de raio
ao redor da origem.
Passo 3
Vamos parametrizar a circunferência
. Podemos usar coordenadas polares, onde qualquer ponto na circunferência pode ser descrito por:
Aqui,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os diferenciais
e
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na expressão do campo
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Agora, a integral ao longo da circunferência
é:
Parece que ficou
, mas vamos verificar se há algum erro.
Passo 7
Ah, percebi o erro! No campo
, o denominador é
, então realmente:
Ao integrar:
Mas o enunciado pede
, então deve haver algo faltando. Vamos revisar.
Passo 8
Na verdade, o campo
está definido como:
Para a circunferência
, substituindo:
Então, o diferencial de posição
é:
O produto escalar
é:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Agora, para a parte (b), precisamos mostrar que o campo
não é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado for zero. No nosso caso, já vimos que para a circunferência
, a integral é
, que não é zero. Portanto, por contradição, o campo
não pode ser conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa:
(a) Calcule
, onde
é a elipse
(percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
(b) Verifique a igualdade abaixo:
onde
é a região limitada tal que
.
Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força
mover uma partícula:
(a) do ponto para o ponto
ao longo de uma curva
é de
;
(b) do ponto para o ponto
ao longo de uma curva
é de
.
O que você dizer sobre ? Por quê?
(a) do ponto
(b) do ponto
O que você dizer sobre
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto do ponto
para o ponto
.
(a) e
.
(b) e
.
(a)
(b)