Resolva as integrais abaixo.
35) integral x^2(1+x^2)^2 d x ;(u=x ; d v=x d x(1+x^2)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher partes da integral para serem e . No caso, vamos escolher e . Isso vai nos ajudar a simplificar a integral e encontrar a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u = x Rightarrow du = dx e dv = x(1+x^2)^2 , dx Rightarrow v = integral x(1+x^2)^2 , dx :
Agora, precisamos calcular . Vamos fazer isso integrando .

Passo 3

Para encontrar v = integral x(1+x^2)^2 , dx , calculamos:
v = integral xw^2 , dx = integral 1w^2 cdot dw2 = 12 integral w^-2 , dw = 12 ( -w^-1 ) + C = -12w + C
Aqui, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar v = -12(1 + x^2) , então ou seja, . Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 4

Agora que temos integral u , dv = uv - integral v , du , integral x^2(1+x^2)^2 , dx = x cdot ( -12(1 + x^2) ) - integral ( -12(1 + x^2) ) cdot dx , = -x2(1 + x^2) + 12 integral 11 + x^2 , dx e , podemos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral 11 + x^2 , dx = arctan(x) + C . Essa é uma integral padrão que resulta na função arctan:
= -x2(1 + x^2) + 12 arctan(x) + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral -x2(1 + x^2) + 12 arctan(x) + C é igual a:

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