Sejam
e
.seqüências convergentes de números reais com limites
e
respectivamente. Então valem as seguintes propriedades:
converge e
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre duas sequências de números reais,
e
, que convergem para os limites
e
, respectivamente. O conteúdo que a gente vai usar aqui é sobre convergência de sequências e propriedades dos limites. Precisamos entender que se duas sequências convergem, operações como soma ou subtração delas também convergem, e podemos calcular o limite dessas operações.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
converge para
, ou seja:
E
converge para
:
Essas são as definições básicas de convergência de sequências.
Passo 3
Queremos mostrar que a sequência
também converge e que seu limite é
. Para isso, usamos a propriedade da soma (ou subtração) de limites.
A propriedade diz que se
e
, então:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Aplicando essa propriedade diretamente às nossas sequências:
Isso mostra que a sequência
realmente converge, e o seu limite é a diferença dos limites das sequências individuais.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.