Sejam (xn) n in N e (yn) n in N.seqüências convergentes de números reais com limites x e y respectivamente. Então valem as seguintes propriedades:
(xn-yn) n in N converge e lim n in infty(xn-yn)=lim n in infty xn-lim n in infty yn.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre duas sequências de números reais, e , que convergem para os limites e , respectivamente. O conteúdo que a gente vai usar aqui é sobre convergência de sequências e propriedades dos limites. Precisamos entender que se duas sequências convergem, operações como soma ou subtração delas também convergem, e podemos calcular o limite dessas operações.

Passo 2

Primeiro, sabemos que limn to infty xn = x converge para limn to infty yn = y , ou seja:
E converge para :
Essas são as definições básicas de convergência de sequências.

Passo 3

Queremos mostrar que a sequência limn to infty (an pm bn) = a pm b também converge e que seu limite é limn to infty (xn - yn) = limn to infty xn - limn to infty yn . Para isso, usamos a propriedade da soma (ou subtração) de limites.
A propriedade diz que se e , então:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Aplicando essa propriedade diretamente às nossas sequências:
limn to infty (xn - yn) = x - y
Isso mostra que a sequência realmente converge, e o seu limite é a diferença dos limites das sequências individuais.

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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