Sejam
e
.seqüências convergentes de números reais com limites
e
respectivamente. Então valem as seguintes propriedades:
converge e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas sequências numéricas, chamadas
e
, que convergem para certos limites,
e
respectivamente. A gente precisa provar que a soma dessas duas sequências também converge e que o limite dessa soma é igual à soma dos limites individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência
converge para um limite
se, à medida que
cresce, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
, existe um número natural
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, como sabemos que
converge para
e
converge para
, podemos usar essa definição para cada uma das sequências. Ou seja:
Para
:
Para
:
Escolhi
por conveniência, vamos ver por quê no próximo passo.
Passo 4
Queremos mostrar que a sequência
converge para
. Para isso, vamos usar a definição de convergência para a soma das sequências.
Consideramos:
Passo 5
Usando a desigualdade triangular, sabemos que:
Aplicando isso à expressão acima:
Passo 6
Agora, queremos que essa soma seja menor que
. Sabemos que cada termo individualmente é menor que
, então:
Somando as duas desigualdades:
Passo 7
Isso mostra que:
para todo
.
Resposta
Portanto, a sequência
converge para
, ou seja: