Sejam (xn) n in N e (yn) n in N.seqüências convergentes de números reais com limites x e y respectivamente. Então valem as seguintes propriedades:
(xn+yn) n in N converge e lim n in infty(xn+yn)=lim n in infty xn+lim n in infty yn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas sequências numéricas, chamadas e , que convergem para certos limites, e respectivamente. A gente precisa provar que a soma dessas duas sequências também converge e que o limite dessa soma é igual à soma dos limites individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge para um limite se, à medida que cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um número natural tal que para todo , .

Passo 3

Agora, como sabemos que forall epsilon > 0, exists N1 in N tal que n >= N1 Rightarrow |xn - x| < epsilon2 converge para forall epsilon > 0, exists N2 in N tal que n >= N2 Rightarrow |yn - y| < epsilon2 e converge para , podemos usar essa definição para cada uma das sequências. Ou seja:
Para :
Para :
Escolhi por conveniência, vamos ver por quê no próximo passo.

Passo 4

Queremos mostrar que a sequência | (xn + yn) - (x + y) | = | (xn - x) + (yn - y) | converge para . Para isso, vamos usar a definição de convergência para a soma das sequências.
Consideramos:

Passo 5

Usando a desigualdade triangular, sabemos que:
|a + b| <= |a| + |b|
Aplicando isso à expressão acima:
| (xn + yn) - (x + y) | <= |xn - x| + |yn - y|

Passo 6

Agora, queremos que essa soma seja menor que |xn - x| < epsilon2 e |yn - y| < epsilon2 . Sabemos que cada termo individualmente é menor que |xn - x| + |yn - y| < epsilon2 + epsilon2 = epsilon , então:
Somando as duas desigualdades:

Passo 7

Isso mostra que:
| (xn + yn) - (x + y) | < epsilon
para todo .

Resposta

Portanto, a sequência limn to infty (xn + yn) = limn to infty xn + limn to infty yn = x + y converge para , ou seja:

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