Calcule , onde é o retângulo de vértices e , no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em , , e , percorrido no sentido horário. Esse tipo de integral faz parte do Cálculo Vetorial, especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, identifique as componentes da integral. Temos:
A integral de linha é:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interna ao contorno . Porém, é importante notar que o Teorema de Green assume que o caminho está percorrido no sentido antihorário. Como nosso caminho está no sentido horário, o resultado da integral será o negativo da integral calculada pelo teorema.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo no teorema:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região , que é um retângulo com variando de a e de a :
Resolvendo a integral interna em :

Passo 6

Agora, integramos em :

Passo 7

Como o caminho está percorrido no sentido horário, aplicamos o sinal negativo ao resultado da integral dupla:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Usando o Teorema de Grenn calcule , sendo o triângulo de vértices , no sentido anti-horário.
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .