Calcule ointC[(e^x^3+y^2) d x+(x+raiz1+y^2) d y], onde C é o retângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1), no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), percorrido no sentido horário. Esse tipo de integral faz parte do Cálculo Vetorial, especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, identifique as componentes da integral. Temos:
M(x, y) = e^x^3 + y^2
N(x, y) = x + raiz1 + y^2
A integral de linha é:
ointC [ M , dx + N , dy ]

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC [ M , dx + N , dy ] = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
Onde D é a região interna ao contorno C. Porém, é importante notar que o Teorema de Green assume que o caminho C está percorrido no sentido antihorário. Como nosso caminho está no sentido horário, o resultado da integral será o negativo da integral calculada pelo teorema.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x ( x + raiz1 + y^2 ) = 1
partial Mpartial y = partialpartial y ( e^x^3 + y^2 ) = 2y
Substituindo no teorema:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 1 - 2y

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região D, que é um retângulo com x variando de 0 a 1 e y de 0 a 1:
integral duplaD (1 - 2y) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 (1 - 2y) , dx , dy
Resolvendo a integral interna em x:
integral0^1 (1 - 2y) , dx = (1 - 2y) cdot (1 - 0) = 1 - 2y

Passo 6

Agora, integramos em y:
integral0^1 (1 - 2y) , dy = [ y - y^2 ]0^1 = (1 - 1) - (0 - 0) = 0

Passo 7

Como o caminho C está percorrido no sentido horário, aplicamos o sinal negativo ao resultado da integral dupla:
ointC [ M , dx + N , dy ] = -0 = 0

Resposta

A integral vale 0.

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