Calcule
, onde
é o retângulo de vértices
e
, no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em
,
,
e
, percorrido no sentido horário. Esse tipo de integral faz parte do Cálculo Vetorial, especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.
Passo 2
Primeiro, identifique as componentes da integral. Temos:
A integral de linha é:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interna ao contorno
. Porém, é importante notar que o Teorema de Green assume que o caminho
está percorrido no sentido antihorário. Como nosso caminho está no sentido horário, o resultado da integral será o negativo da integral calculada pelo teorema.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo no teorema:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região
, que é um retângulo com
variando de
a
e
de
a
:
Resolvendo a integral interna em
:
Passo 6
Agora, integramos em
:
Passo 7
Como o caminho
está percorrido no sentido horário, aplicamos o sinal negativo ao resultado da integral dupla:
Resposta
A integral vale
.