Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
y(x) - x * y'(x) = raiz(1 + y'(x)), y(x) = -x - 1/(4 * x). Discutir os casos x > 0 e x < 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa classificar uma equação diferencial, identificando sua ordem e grau algébrico, além de verificar se uma função dada é solução dessa equação. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, a derivada de é . Não tem derivadas de segunda ordem ou superiores, então a ordem da nossa equação é 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está escrita como um polinômio em relação a essa derivada. Porém, nossa equação tem uma raiz quadrada envolvendo :
Para encontrar o grau, precisamos eliminar a raiz. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, expandindo:
A derivada está elevada ao quadrado, então o grau algébrico da equação é 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função dada:
é uma solução da equação diferencial para e . Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:

Passo 5

Com e em mãos, vamos substituir na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 6

Comparando os dois lados:
Para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos analisar os casos e :
  • Para : , então:
    Não é igual, então a função não é solução para .
  • Para : , então:
    Isso é igual, então a função é solução para .

Resposta

A equação diferencial é de primeira ordem e grau algébrico 2. A função é solução da equação diferencial apenas para e não é solução para .

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