Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa classificar uma equação diferencial, identificando sua ordem e grau algébrico, além de verificar se uma função dada é solução dessa equação. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, a derivada de
é
. Não tem derivadas de segunda ordem ou superiores, então a ordem da nossa equação é 1.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está escrita como um polinômio em relação a essa derivada. Porém, nossa equação tem uma raiz quadrada envolvendo
:
Para encontrar o grau, precisamos eliminar a raiz. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, expandindo:
A derivada
está elevada ao quadrado, então o grau algébrico da equação é 2.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função dada:
é uma solução da equação diferencial para
e
. Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:
Passo 5
Com
e
em mãos, vamos substituir na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 6
Comparando os dois lados:
Para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos analisar os casos
e
:
-
Para
: , então: Não é igual, então a função não é solução para. -
Para
: , então: Isso é igual, então a função é solução para.
Resposta
A equação diferencial
é de primeira ordem e grau algébrico 2. A função
é solução da equação diferencial apenas para
e não é solução para
.