Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa **classificar uma equação diferencial**, identificando sua **ordem** e **grau algébrico**, além de **verificar se uma função dada é solução** dessa equação. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a **ordem** da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação:
Aqui, a derivada de é . Não tem derivadas de segunda ordem ou superiores, então a **ordem** da nossa equação é **1**.
Passo 3
Agora, vamos determinar o **grau algébrico** da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está escrita como um polinômio em relação a essa derivada. Porém, nossa equação tem uma raiz quadrada envolvendo :
Para encontrar o grau, precisamos eliminar a raiz. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, expandindo:
A derivada está elevada ao quadrado, então o **grau algébrico** da equação é **2**.
Passo 4
Agora, vamos **verificar se a função dada**:
é uma solução da equação diferencial para e . Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:
Passo 5
Com e em mãos, vamos substituir na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 6
Comparando os dois lados:
Para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos analisar os casos e :
- **Para **: , então:
Não é igual, então a função **não é solução** para .
- **Para **: , então:
Isso é igual, então a função **é solução** para .
Resposta
A equação diferencial é de **primeira ordem** e **grau algébrico 2**. A função é **solução** da equação diferencial apenas para e **não é solução** para .
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;
Calcule , onde é o retângulo de vértices e , no sentido horário.
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: