Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham: . Discutir os casos e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa **classificar uma equação diferencial**, identificando sua **ordem** e **grau algébrico**, além de **verificar se uma função dada é solução** dessa equação. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a **ordem** da equação diferencial. A ordem é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação: Aqui, a derivada de é . Não tem derivadas de segunda ordem ou superiores, então a **ordem** da nossa equação é **1**.

Passo 3

Agora, vamos determinar o **grau algébrico** da equação diferencial. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está escrita como um polinômio em relação a essa derivada. Porém, nossa equação tem uma raiz quadrada envolvendo : Para encontrar o grau, precisamos eliminar a raiz. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado: Agora, expandindo: A derivada está elevada ao quadrado, então o **grau algébrico** da equação é **2**.

Passo 4

Agora, vamos **verificar se a função dada**: é uma solução da equação diferencial para e . Primeiro, precisamos calcular a derivada dessa função:

Passo 5

Com e em mãos, vamos substituir na equação original: Substituindo: Vamos simplificar o lado esquerdo: E o lado direito:

Passo 6

Comparando os dois lados: Para que essa igualdade seja verdadeira, precisamos analisar os casos e : - **Para **: , então: Não é igual, então a função **não é solução** para . - **Para **: , então: Isso é igual, então a função **é solução** para .

Resposta

A equação diferencial é de **primeira ordem** e **grau algébrico 2**. A função é **solução** da equação diferencial apenas para e **não é solução** para .

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