Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em x0=0. Além disso, para algum número real r, determine uma solução em séries de potências da forma y(x)=x^r sumn=0^infty x^n=sumn=0^infty x^r+n.
x y^prime prime+y=0,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares de equações diferenciais e como construir soluções usando séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 é um ponto singular da equação diferencial P(x) = x, Q(x) = 0, R(x) = 1 . Uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Comparando com nossa equação, temos:
Um ponto é chamado de ponto singular se . Aqui, , então é um ponto singular.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto singular é regular. Um ponto singular é regular se as funções Q(x)P(x) = 0x = 0 e R(x)P(x) = 1x têm singularidades no máximo de ordem 1 e 2, respectivamente, quando .
Calculando:
Aqui, é bem comportada (não tem singularidade) e tem uma singularidade de ordem 1. Portanto, é um ponto singular regular.

Passo 4

Agora, vamos buscar uma solução em série de potências da forma y'(x) = sumn=0^infty an (r + n) x^r + n - 1 , onde y''(x) = sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 2 e é um número real a ser determinado.
Primeiro, derivamos :

Passo 5

Substituindo x ( sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 2 ) + sumn=0^infty an x^r + n = 0 , sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 1 + sumn=0^infty an x^r + n = 0 e na equação diferencial :
Simplificando:

Passo 6

Para combinar as séries, ajustamos os índices:
sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 1 = sumn=-1^infty an+1 (r + n + 1)(r + n) x^r + n
Agora, reescrevendo a equação:
sumn=-1^infty an+1 (r + n + 1)(r + n) x^r + n + sumn=0^infty an x^r + n = 0
Para a0 r (r - 1) x^r - 1 = 0 , temos r(r - 1) = 0 implies r = 0 ou r = 1 . Igualando os coeficientes de potências iguais a zero:
  • Para :
Isso nos dá a equação indicial:

Passo 7

Escolhamos an+1 (r + n + 1)(r + n) + an = 0 para simplificar. Agora, para an+1 (n + 1)(n) + an = 0 implies an+1 = -ann(n + 1) , temos:
Com :

Passo 8

Agora, podemos gerar os coeficientes da série:
  • an+1 = -ann(n + 1) é arbitrário (vamos supor para simplificar).
  • : Aqui, temos uma divisão por zero, o que sugere que .
  • Para :
Isso resulta em todos os coeficientes seguintes sendo determinados a partir de .

Resposta

Portanto, a equação y(x) = sumn=0^infty an x^n possui um ponto singular regular em e uma solução em série de potências dada por:
com arbitrário e os coeficientes recorrentes determinados por para .

Exercícios relacionados