Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
tem um ponto singular regular em
. Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares de equações diferenciais e como construir soluções usando séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se
é um ponto singular da equação diferencial
. Uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Comparando com nossa equação, temos:
Um ponto
é chamado de ponto singular se
. Aqui,
, então
é um ponto singular.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto singular é regular. Um ponto singular é regular se as funções
e
têm singularidades no máximo de ordem 1 e 2, respectivamente, quando
.
Calculando:
Aqui,
é bem comportada (não tem singularidade) e
tem uma singularidade de ordem 1. Portanto,
é um ponto singular regular.
Passo 4
Agora, vamos buscar uma solução em série de potências da forma
, onde
e
é um número real a ser determinado.
Primeiro, derivamos
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial
:
Simplificando:
Passo 6
Para combinar as séries, ajustamos os índices:
Agora, reescrevendo a equação:
Para
, temos
. Igualando os coeficientes de potências iguais a zero:
- Para
:
Isso nos dá a equação indicial:
Passo 7
Escolhamos
para simplificar. Agora, para
, temos:
Com
:
Passo 8
Agora, podemos gerar os coeficientes da série:
-
é arbitrário (vamos supor para simplificar). -
: Aqui, temos uma divisão por zero, o que sugere que . - Para
:
Isso resulta em todos os coeficientes seguintes sendo determinados a partir de
.
Resposta
Portanto, a equação
possui um ponto singular regular em
e uma solução em série de potências dada por:
com
arbitrário e os coeficientes recorrentes determinados por
para
.
Exercícios relacionados
Verifique que o campo vetorial
é um campo conservativo em
e calcule
ao longo de qualquer caminho
de
até
.
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Usando o Teorema de Grenn calcule
, sendo
o triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é o retângulo de vértices
e
, no sentido horário.