Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial tem um ponto singular regular em . Além disso, precisamos encontrar uma solução em série de potências da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares de equações diferenciais e como construir soluções usando séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se é um ponto singular da equação diferencial . Uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Comparando com nossa equação, temos:
Um ponto é chamado de ponto singular se . Aqui, , então é um ponto singular.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto singular é regular. Um ponto singular é regular se as funções e têm singularidades no máximo de ordem 1 e 2, respectivamente, quando .
Calculando:
Aqui, é bem comportada (não tem singularidade) e tem uma singularidade de ordem 1. Portanto, é um ponto singular regular.

Passo 4

Agora, vamos buscar uma solução em série de potências da forma , onde e é um número real a ser determinado.
Primeiro, derivamos :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial :
Simplificando:

Passo 6

Para combinar as séries, ajustamos os índices:
Agora, reescrevendo a equação:
Para , temos . Igualando os coeficientes de potências iguais a zero:
  • Para :
Isso nos dá a equação indicial:

Passo 7

Escolhamos para simplificar. Agora, para , temos:
Com :

Passo 8

Agora, podemos gerar os coeficientes da série:
  • é arbitrário (vamos supor para simplificar).
  • : Aqui, temos uma divisão por zero, o que sugere que .
  • Para :
Isso resulta em todos os coeficientes seguintes sendo determinados a partir de .

Resposta

Portanto, a equação possui um ponto singular regular em e uma solução em série de potências dada por:
com arbitrário e os coeficientes recorrentes determinados por para .

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Verifique que o campo vetorial é um campo conservativo em e calcule ao longo de qualquer caminho de até .
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Usando o Teorema de Grenn calcule , sendo o triângulo de vértices , no sentido anti-horário.
Calcule , onde é o retângulo de vértices e , no sentido horário.