Usando o Teorema de Grenn calcule
, sendo
o triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva
que delimita uma região
no plano, temos:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Vamos parametrizar a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, podemos expressar
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até a linha que conecta
a
. A equação dessa linha é
.
Então, os limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos integrar primeiro em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.