Usando o Teorema de Grenn calcule , sendo o triângulo de vértices , no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é , onde é um triângulo com vértices em , e , percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva que delimita uma região no plano, temos:
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Vamos parametrizar a região , que é o triângulo com vértices em , e . Para isso, podemos expressar variando de a , e para cada , varia de até a linha que conecta a . A equação dessa linha é .
Então, os limites de integração são:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
,
Verifique que o campo vetorial é um campo conservativo em e calcule ao longo de qualquer caminho de até .
Calcule , onde é o retângulo de vértices e , no sentido horário.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;