Usando o Teorema de Grenn calcule ointC[y^2 d x+2 x^2 d y], sendo C o triângulo de vértices (0,0),(1,2) e(0,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é ointC[y^2 dx + 2 x^2 dy], onde C é um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (0,2), percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva C que delimita uma região D no plano, temos:
ointC ( P , dx + Q , dy ) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = y^2 e Q = 2x^2. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (4x - 2y) , dA

Passo 4

Vamos parametrizar a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (0,2). Para isso, podemos expressar y variando de 0 a 2, e para cada y, x varia de 0 até a linha que conecta (0,0) a (1,2). A equação dessa linha é x = 12 y.
Então, os limites de integração são:
0 <= y <= 2
0 <= x <= y2

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integral duplaD (4x - 2y) , dA = integral0^2 integral0^y2 (4x - 2y) , dx , dy
Vamos integrar primeiro em relação a x.

Passo 6

Integrando 4x - 2y em relação a x:
integral0^y2 (4x - 2y) , dx = [ 2x^2 - 2y x ]0^y2
Substituindo os limites:
2(y2)^2 - 2y (y2) - (0 - 0) = 2(y^24) - y^2 = y^22 - y^2 = -y^22

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^2 -y^22 , dy = -12 integral0^2 y^2 , dy = -12 [ y^33 ]0^2 = -12 ( 83 - 0 ) = -43

Resposta

O valor da integral é -dfrac43.

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