Usando o Teorema de Grenn calcule
, sendo
o triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva
que delimita uma região
no plano, temos:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Vamos parametrizar a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, podemos expressar
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até a linha que conecta
a
. A equação dessa linha é
.
Então, os limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos integrar primeiro em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
,
Verifique que o campo vetorial
é um campo conservativo em
e calcule
ao longo de qualquer caminho
de
até
.
Calcule
, onde
é o retângulo de vértices
e
, no sentido horário.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;