Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar uma equação diferencial, identificando sua ordem e grau algébrico. Além disso, precisamos verificar se a função é solução dessa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é ordem e grau de uma equação diferencial, e também como substituir a função na equação para testar se ela satisfaz a equação.

Passo 2

Determinar a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a equação , vemos que a derivada de é a primeira derivada, ou seja, . Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é 1.

Passo 3

Determinar o grau algébrico da equação diferencial. O grau de uma equação diferencial é o expoente da derivada de maior ordem, após deixar a equação polinomial em relação a todas as derivadas. Nossa equação já está linear (a derivada está na primeira potência e multiplicada por ), então o grau é 1.

Passo 4

Verificar se é solução da equação. Para isso, vamos substituir e na equação e ver se a igualdade se sustenta.
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na equação :
Como a igualdade é verdadeira, a função é uma solução da equação diferencial.

Resposta

A equação diferencial é de 1ª ordem e 1º grau algébrico. A função é uma solução da equação.

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Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .