Estabeleça um algoritmo para encontrar e classificar os extremantes de uma função de duas variáveis.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos criar um algoritmo para encontrar e classificar os extremantes (ou seja, os pontos de máximo e mínimo) de uma função que depende de duas variáveis. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz Hessiana.
Passo 2
O primeiro passo no algoritmo é calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Se nossa função for , precisamos encontrar e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar os pontos críticos, onde os extremantes podem estar.
Passo 3
Depois de encontrar as derivadas parciais, igualamos cada uma a zero para encontrar os pontos críticos. Ou seja, resolvemos as equações:
As soluções dessas equações nos darão os valores de e onde a função pode ter extremos.
Passo 4
Com os pontos críticos identificados, precisamos classificá-los para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função:
Calculamos o determinante da Hessiana () e a segunda derivada em relação a () no ponto crítico.
Passo 5
A classificação do ponto crítico é feita da seguinte forma:
Se e , então temos um mínimo local.
Se e , então temos um máximo local.
Se , o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo.
Se , o teste é inconclusivo e outros métodos devem ser usados.
Resposta
Para encontrar e classificar os extremantes de uma função de duas variáveis, siga este algoritmo:
Calcule as derivadas parciais e .
Iguale as derivadas parciais a zero e resolva o sistema para encontrar os pontos críticos .
Calcule a matriz Hessiana no(s) ponto(s) crítico(s).
Determine o determinante da Hessiana () e a segunda derivada .
Classifique cada ponto crítico usando os critérios: