Estabeleça um algoritmo para encontrar e classificar os extremantes de uma função de duas variáveis.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos criar um algoritmo para encontrar e classificar os extremantes (ou seja, os pontos de máximo e mínimo) de uma função que depende de duas variáveis. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz Hessiana.

Passo 2

O primeiro passo no algoritmo é calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Se nossa função for , precisamos encontrar e . Essas derivadas nos ajudarão a encontrar os pontos críticos, onde os extremantes podem estar.

Passo 3

Depois de encontrar as derivadas parciais, igualamos cada uma a zero para encontrar os pontos críticos. Ou seja, resolvemos as equações:
As soluções dessas equações nos darão os valores de e onde a função pode ter extremos.

Passo 4

Com os pontos críticos identificados, precisamos classificá-los para saber se são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é composta pelas segundas derivadas parciais da função:
Calculamos o determinante da Hessiana ( ) e a segunda derivada em relação a ( ) no ponto crítico.

Passo 5

A classificação do ponto crítico é feita da seguinte forma:
  • Se e , então temos um mínimo local.
  • Se e , então temos um máximo local.
  • Se , o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo.
  • Se , o teste é inconclusivo e outros métodos devem ser usados.

Resposta

Para encontrar e classificar os extremantes de uma função de duas variáveis, siga este algoritmo:
  1. Calcule as derivadas parciais e .
  2. Iguale as derivadas parciais a zero e resolva o sistema para encontrar os pontos críticos .
  3. Calcule a matriz Hessiana no(s) ponto(s) crítico(s).
  4. Determine o determinante da Hessiana ( ) e a segunda derivada .
  5. Classifique cada ponto crítico usando os critérios:
    • e : mínimo local.
    • e : máximo local.
    • : ponto de sela.
    • : teste inconclusivo.

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onde é o triângulo que sai de , na direção de e, em seguida, para e volta para .
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