Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de , sujeito à condição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função sob a condição .
Aqui, o conteúdo principal é otimização com restrições, e vamos precisar entender como aplicar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos, respeitando a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é criar uma nova função chamada lagrangiana:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos montar a lagrangiana para nosso problema:
Agora, para encontrar os pontos extremos, precisamos derivar a lagrangiana em relação a , , e e igualar as derivadas a zero.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos tentar resolver esse sistema. Primeiramente, podemos expressar de cada uma das três primeiras equações:

Passo 6

Igualando as expressões para :
E também:
Então, todos os três variáveis têm o mesmo módulo, possivelmente com sinais diferentes.

Passo 7

Considerando que e , vamos assumir que e . Substituindo na condição :
Então, os pontos críticos são:

Passo 8

Além dessas soluções, precisamos considerar as possibilidades onde um ou mais das variáveis são negativas. Isso nos dá mais combinações:
Esses são os pontos onde a função pode ter extremos sob a restrição dada.

Resposta

Os extremantes de sujeitos à condição são os pontos:
Esses pontos correspondem aos extremos (máximos e mínimos) da função sob a restrição dada.

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