Use o Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremantes de , sujeito à condição .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os Multiplicadores de Lagrange para encontrar e classificar os extremos da função sob a condição .
Aqui, o conteúdo principal é otimização com restrições, e vamos precisar entender como aplicar a técnica dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos onde a função atinge seus máximos e mínimos, respeitando a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os Multiplicadores de Lagrange. É uma técnica usada para encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é criar uma nova função chamada lagrangiana:
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos montar a lagrangiana para nosso problema:
Agora, para encontrar os pontos extremos, precisamos derivar a lagrangiana em relação a , , e e igualar as derivadas a zero.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos tentar resolver esse sistema. Primeiramente, podemos expressar de cada uma das três primeiras equações:
Passo 6
Igualando as expressões para :
E também:
Então, todos os três variáveis têm o mesmo módulo, possivelmente com sinais diferentes.
Passo 7
Considerando que e , vamos assumir que e . Substituindo na condição :
Então, os pontos críticos são:
Passo 8
Além dessas soluções, precisamos considerar as possibilidades onde um ou mais das variáveis são negativas. Isso nos dá mais combinações:
Esses são os pontos onde a função pode ter extremos sob a restrição dada.
Resposta
Os extremantes de sujeitos à condição são os pontos:
Esses pontos correspondem aos extremos (máximos e mínimos) da função sob a restrição dada.