Calcule as seguintes integrais:
©
, onde
é a fronteira da região limitada por
e
, com
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
. O enunciado pede pra gente calcular essa integral ao longo do contorno
, que é a fronteira da região limitada por
,
e o círculo
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região interna.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da seguinte expressão:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Subtraindo as derivadas:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
. A região está limitada pelas retas
,
e o círculo
, com
. Isso descreve uma região simétrica no eixo
, limitada entre os pontos de interseção das retas e do círculo.
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares. Nessa configuração,
e
, e a área diferencial é
.
Passo 5
Determinar os limites de integração em coordenadas polares:
- O raio
varia de até , já que o círculo tem raio . - O ângulo
varia de até , que são os ângulos correspondentes às retas e .
Agora, expressamos
em coordenadas polares:
.
Passo 6
Montando a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que
. Portanto:
Resposta
A integral vale
.