Calcule as seguintes integrais:
© ointC y^22 d x+2 x y d y, onde C é a fronteira da região limitada por y=x, y=-x e x^2+y^2=4, com y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: ointC y^22 , dx + 2xy , dy. O enunciado pede pra gente calcular essa integral ao longo do contorno C, que é a fronteira da região limitada por y = x, y = -x e o círculo x^2 + y^2 = 4, onde y >= 0. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região interna.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao redor de uma curva fechada C é igual à integral dupla sobre a região R limitada por C da seguinte expressão:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, P = y^22 e Q = 2xy. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2xy) = 2y
partial Ppartial y = partialpartial y ( y^22 ) = y
Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2y - y = y

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região R. A região está limitada pelas retas y = x, y = -x e o círculo x^2 + y^2 = 4, com y >= 0. Isso descreve uma região simétrica no eixo y, limitada entre os pontos de interseção das retas e do círculo.
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares. Nessa configuração, x = r costheta e y = r sintheta, e a área diferencial é dA = r , dr , dtheta.

Passo 5

Determinar os limites de integração em coordenadas polares:
  • O raio r varia de 0 até 2, já que o círculo tem raio 2.
  • O ângulo theta varia de -pi4 até pi4, que são os ângulos correspondentes às retas y = x e y = -x.
Agora, expressamos y em coordenadas polares: y = r sintheta.

Passo 6

Montando a integral dupla:
integral duplaR y , dA = integral-pi4^pi4 integral0^2 (r sintheta) cdot r , dr , dtheta = integral-pi4^pi4 integral0^2 r^2 sintheta , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^2 r^2 sintheta , dr = sintheta [ r^33 ]0^2 = sintheta ( 83 - 0 ) = 83 sintheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral-pi4^pi4 83 sintheta , dtheta = 83 [ -costheta ]-pi4^pi4 = 83 ( -cos(pi4) + cos(-pi4) )
Sabemos que cos(pi4) = cos(-pi4) = raiz22. Portanto:
83 ( -raiz22 + raiz22 ) = 83 cdot 0 = 0

Resposta

A integral vale 0.

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