Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira do quadrado
e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
suave em uma região
com fronteira
orientada positivamente (anti-horário), temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green ao nosso problema. Precisamos identificar as componentes
e
do campo vetorial
. Supondo que
, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral dupla sobre o quadrado
. Primeiro, determinamos as derivadas parciais:
Subtraímos essas derivadas e integramos sobre
:
Resposta
Portanto, a integral
é igual à integral dupla:
Exercícios relacionados
Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Determine se a sequência
converge.
(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Se
, onde
e
determine