Calcule , onde é a fronteira do quadrado orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira do quadrado e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial suave em uma região com fronteira orientada positivamente (anti-horário), temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green ao nosso problema. Precisamos identificar as componentes e do campo vetorial . Supondo que , a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral dupla sobre o quadrado . Primeiro, determinamos as derivadas parciais:
Subtraímos essas derivadas e integramos sobre :

Resposta

Portanto, a integral é igual à integral dupla:

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Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Determine se a sequência converge.
(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Se , onde e determine