Calcule ointC2^+ F d r, onde C2 é a fronteira do quadrado D=[-1,1] times[-1,1] orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira do quadrado e está orientada no sentido anti-horário. Isso envolve o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC F , dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA suave em uma região com fronteira orientada positivamente (anti-horário), temos:
Isso significa que a integral de linha ao redor da curva pode ser convertida em uma integral dupla sobre a área .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green ao nosso problema. Precisamos identificar as componentes ointC2^+ F , dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e do campo vetorial . Supondo que , a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral dupla sobre o quadrado partial Qpartial x e partial Ppartial y . Primeiro, determinamos as derivadas parciais:
integral dupla-1^1 integral dupla-1^1 ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Subtraímos essas derivadas e integramos sobre :

Resposta

Portanto, a integral integral dupla-1^1 integral dupla-1^1 ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy é igual à integral dupla:

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