Considere uma equação diferencial da forma
d/y = f(y/x)
a Faça a mudança de variáveis v = y/x afim de obter a equação separável
d v/d x = (f(v) - v)/x
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
d y/d x = (y - x)/(y + x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
O objetivo é resolver essa equação utilizando uma mudança de variável. Para isso, vamos empregar a substituição , que vai nos ajudar a simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que podemos expressar em termos de e :
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra do produto, temos:

Passo 3

Substituímos na equação diferencial original:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos isolar . Subtraímos de ambos os lados:
Para simplificar o lado direito, temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:

Passo 7

Unindo as duas integrais, temos:
Substituindo novamente :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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