Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
O objetivo é resolver essa equação utilizando uma mudança de variável. Para isso, vamos empregar a substituição
, que vai nos ajudar a simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso significa que podemos expressar
em termos de
e
:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Substituímos
na equação diferencial original:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos isolar
. Subtraímos
de ambos os lados:
Para simplificar o lado direito, temos:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação:
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 7
Unindo as duas integrais, temos:
Substituindo novamente
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
converge.
Use o teste de comparação para verificar a convergência de
.
Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido anti-horário.
(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule