Se , onde e determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função composta: ela depende de e , e e dependem de e . Para encontrar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos começar encontrando .
Sabemos que:
Então, pela regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos calcular e .
Dado que:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de :
Lembrando que e , podemos deixar assim ou substituir novamente, dependendo do pedido.

Passo 6

Agora, vamos encontrar .
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:

Passo 7

Calculando e .
Dado que:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão de :
Assim como antes, podemos deixar em termos de e ou substituir as expressões de e se necessário.

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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