Se z=(x-y)^5, onde x=u v^2 e y=u^2 v determine
partial zpartial u e partial zpartial v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função composta: ela depende de e , e e dependem de e . Para encontrar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

Vamos começar encontrando z = (x - y)^5 .
Sabemos que:
partial zpartial u = 5(x - y)^4 ( partial xpartial u - partial ypartial u )
Então, pela regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos calcular x = u v^2 Rightarrow partial xpartial u = v^2 e y = u^2 v Rightarrow partial ypartial u = 2u v .
Dado que:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão de partial zpartial u = 5(x - y)^4 (v^2 - 2u v) :
Lembrando que e , podemos deixar assim ou substituir novamente, dependendo do pedido.

Passo 6

Agora, vamos encontrar partial zpartial v = 5(x - y)^4 ( partial xpartial v - partial ypartial v ) .
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:

Passo 7

Calculando x = u v^2 Rightarrow partial xpartial v = 2u v e y = u^2 v Rightarrow partial ypartial v = u^2 .
Dado que:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão de partial zpartial v = 5(x - y)^4 (2u v - u^2) :
Assim como antes, podemos deixar em termos de e ou substituir as expressões de e se necessário.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 5(x - y)^4 (v^2 - 2u v)
e
partial zpartial v = 5(x - y)^4 (2u v - u^2)

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