Se
, onde
e
determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
, onde
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função composta: ela depende de
e
, e
e
dependem de
e
. Para encontrar as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
Vamos começar encontrando
.
Sabemos que:
Então, pela regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
e
.
Dado que:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão de
:
Lembrando que
e
, podemos deixar assim ou substituir novamente, dependendo do pedido.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
.
Usando a mesma lógica da regra da cadeia:
Passo 7
Calculando
e
.
Dado que:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão de
:
Assim como antes, podemos deixar em termos de
e
ou substituir as expressões de
e
se necessário.
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido anti-horário.
Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a
.
Mostre que a função
é continua em todo
em particular mostre que é continua em