Determine se a sequência
converge.
Passo 1
E aí! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
converge. Esse assunto está ligado ao estudo das sequências em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o que é convergência de uma sequência e aplicar essa definição à nossa sequência específica.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge para um número
se, conforme
fica cada vez maior, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, dizemos que
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa sequência
. Queremos descobrir se existe um número
tal que, quando
cresce sem limite,
se aproxima cada vez mais de
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
conforme
aumenta:
- Para
, - Para
, - Para
, - E assim por diante…
Vemos que, conforme
aumenta,
fica menor e se aproxima de 0.
Passo 5
Matematicamente, podemos calcular o limite:
Isso significa que, conforme
tende ao infinito,
se aproxima de 0.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Use o teste de comparação para verificar a convergência de
.
Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Considere uma equação diferencial da forma
a Faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação separável
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
orientada no sentido anti-horário.