(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral(x^2+y^2)^2^16 x^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para converter uma integral tripla para coordenadas cilíndricas e depois calcular. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas: (r, theta, z), onde r é a distância radial, theta é o ângulo e z é a altura. A relação com as coordenadas cartesianas (x, y, z) é:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 integral(x^2+y^2)^2^16 x^2 , dz , dy , dx
Observe que x varia de -2 a 2, e para cada x, y varia de -raiz4-x^2 a raiz4-x^2. Isso descreve um círculo de raio 2 no plano xy. O limite inferior de z é (x^2+y^2)^2 e o superior é 16.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, x^2 + y^2 = r^2. Então, o limite inferior de z fica:
zinferior = (x^2+y^2)^2 = r^4
E o limite superior é zsuperior = 16.
Para x^2 + y^2 <= 4, temos r <= 2. E o ângulo theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^4^16 (r costheta)^2 cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, x^2 = (r costheta)^2 e multiplicamos pelo r do elemento de volume.
Simplificando:
integral0^2pi integral0^2 integralr^4^16 r^2 cos^2theta cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 integralr^4^16 r^3 cos^2theta , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^4^16 dz = 16 - r^4
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 r^3 cos^2theta (16 - r^4) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos distribuir r^3:
integral0^2pi integral0^2 (16r^3 - r^7) cos^2theta , dr , dtheta
Como cos^2theta não depende de r, podemos separar as integrais:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta cdot integral0^2 (16r^3 - r^7) , dr

Passo 8

Primeiro, calculamos integral0^2pi cos^2theta , dtheta. Sabemos que:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então:
integral0^2pi 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos(2theta) , dtheta ] = 12 (2pi + 0) = pi

Passo 9

Agora, calculamos integral0^2 (16r^3 - r^7) , dr:
integral0^2 16r^3 , dr = 16 cdot r^44 |0^2 = 16 cdot 4 = 64
integral0^2 r^7 , dr = r^88 |0^2 = 2568 = 32
Então:
64 - 32 = 32

Resposta

Multiplicando os resultados:
pi cdot 32 = 32pi

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