(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para converter uma integral tripla para coordenadas cilíndricas e depois calcular. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas: , onde é a distância radial, é o ângulo e é a altura. A relação com as coordenadas cartesianas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observe que varia de a , e para cada , varia de a . Isso descreve um círculo de raio no plano . O limite inferior de é e o superior é .
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, . Então, o limite inferior de fica:
E o limite superior é .
Para , temos . E o ângulo varia de a para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e multiplicamos pelo do elemento de volume.
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos distribuir :
Como não depende de , podemos separar as integrais: