(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para converter uma integral tripla para coordenadas cilíndricas e depois calcular. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas:
, onde
é a distância radial,
é o ângulo e
é a altura. A relação com as coordenadas cartesianas
é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observe que
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Isso descreve um círculo de raio
no plano
. O limite inferior de
é
e o superior é
.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas,
. Então, o limite inferior de
fica:
E o limite superior é
.
Para
, temos
. E o ângulo
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
e multiplicamos pelo
do elemento de volume.
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos distribuir
:
Como
não depende de
, podemos separar as integrais:
Passo 8
Primeiro, calculamos
. Sabemos que:
Então:
Passo 9
Agora, calculamos
:
Então:
Resposta
Multiplicando os resultados: