(2.5) Converta para coordenadas cilindricas e calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para converter uma integral tripla para coordenadas cilíndricas e depois calcular. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e quais são os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas: , onde é a distância radial, é o ângulo e é a altura. A relação com as coordenadas cartesianas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observe que varia de a , e para cada , varia de a . Isso descreve um círculo de raio no plano . O limite inferior de é e o superior é .

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, . Então, o limite inferior de fica:
E o limite superior é .
Para , temos . E o ângulo varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui, e multiplicamos pelo do elemento de volume.
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos distribuir :
Como não depende de , podemos separar as integrais:

Passo 8

Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Então:

Passo 9

Agora, calculamos :
Então:

Resposta

Multiplicando os resultados:

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a Faça a mudança de variáveis afim de obter a equação separável
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Se , onde e determine
Considere o campo vetorial
a) Calcule, caso exista, o potencial associado a .