Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é uma ferramenta da matemática usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos integrar é
, e o caminho
é dado por
para
variando de 0 a 1. Para resolver, precisamos entender como parametrizar a curva e substituir os valores na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Isso significa que podemos expressar as coordenadas
,
e
em termos de
:
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a
, que são
,
e
:
Passo 3
A próxima etapa é substituir essas expressões na integral original. A integral de linha tem a forma geral:
Onde
,
e
. Substituindo as parametrizações, temos:
Simplificando:
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral vale
.