Calcule ointgamma x d x+(x^2+y+z) d y+x y z d z, onde gamma(t)=(t, 2 t, 1), t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha, que é uma ferramenta da matemática usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos integrar é ointgamma x , dx + (x^2 + y + z) dy + x y z , dz, e o caminho gamma(t) é dado por (t, 2t, 1) para t variando de 0 a 1. Para resolver, precisamos entender como parametrizar a curva e substituir os valores na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t) = (t, 2t, 1). Isso significa que podemos expressar as coordenadas x, y e z em termos de t:
x(t) = t, y(t) = 2t, z(t) = 1
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t, que são dx/dt, dy/dt e dz/dt:
dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 0

Passo 3

A próxima etapa é substituir essas expressões na integral original. A integral de linha tem a forma geral:
ointgamma P , dx + Q , dy + R , dz
Onde P = x, Q = x^2 + y + z e R = x y z. Substituindo as parametrizações, temos:
P(t) dxdt + Q(t) dydt + R(t) dzdt = t cdot 1 + (t^2 + 2t + 1) cdot 2 + t cdot 2t cdot 1 cdot 0
Simplificando:
t + 2(t^2 + 2t + 1) + 0 = t + 2t^2 + 4t + 2
Somando os termos semelhantes:
2t^2 + 5t + 2

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a t de 0 a 1:
integral0^1 (2t^2 + 5t + 2) dt
Integrando termo a termo:
integral 2t^2 dt = 23t^3 integral 5t dt = 52t^2 integral 2 dt = 2t
Portanto, a integral se torna:
[23t^3 + 52t^2 + 2t]0^1

Passo 5

Finalmente, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para t=1:
23(1)^3 + 52(1)^2 + 2(1) = 23 + 52 + 2 = 23 + 52 + 42 = 23 + 92 = 46 + 276 = 316
Para t=0:
23(0)^3 + 52(0)^2 + 2(0) = 0
Subtraindo os valores:
316 - 0 = 316

Resposta

A integral vale dfrac316.

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