Calcule
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de contorno (∮) de um campo vetorial
ao longo da curva
para
variando de 0 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Essencialmente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar o campo vetorial em função dessa parametrização.
Passo 3
Nossa curva está parametrizada por
com
indo de 0 a 1. Isso significa que à medida que
varia de 0 a 1, a curva se move no espaço tridimensional.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva na posição
.
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização
na função
:
Passo 6
A integral de linha é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos a expressão resultante de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Somando todas as integrais:
Resposta
A integral de contorno
é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
.
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices
e
.
Calcule
onde
é dada
e
.
Calcule
, onde
.