Calcule ointgamma f(x, y, z) d r, onde gamma(t)=(t, t, 1-t^2), t in[0,1] e f(x, y)=(0,0, x+y+z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de contorno (∮) de um campo vetorial ao longo da curva para variando de 0 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Essencialmente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar o campo vetorial em função dessa parametrização.

Passo 3

Nossa curva está parametrizada por com indo de 0 a 1. Isso significa que à medida que varia de 0 a 1, a curva se move no espaço tridimensional.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de gamma'(t) = ( ddtt, ddtt, ddt(1 - t^2) ) = (1, 1, -2t) em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva na posição .

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização f(gamma(t)) = (0, 0, t + t + (1 - t^2)) = (0, 0, 2t + 1 - t^2) na função :

Passo 6

A integral de linha é dada por:
ointgamma f cdot dr = integral0^1 f(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt
Substituindo os valores que encontramos:
integral0^1 (0, 0, 2t + 1 - t^2) cdot (1, 1, -2t) , dt

Passo 7

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
(0)(1) + (0)(1) + (2t + 1 - t^2)(-2t) = 0 + 0 -2t(2t + 1 - t^2) = -4t^2 - 2t + 2t^3

Passo 8

Agora, integramos a expressão resultante de integral0^1 (-4t^2 - 2t + 2t^3) , dt a integral0^1 -4t^2 , dt = -4 [ t^33 ]0^1 = -43 :
integral0^1 -2t , dt = -2 [ t^22 ]0^1 = -1
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 2t^3 , dt = 2 [ t^44 ]0^1 = 12

Passo 9

Somando todas as integrais:
-43 - 1 + 12 = -43 - 22 + 12 = -43 - 12 = -86 - 36 = -116

Resposta

A integral de contorno é igual a .

Exercícios relacionados

Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma x^5 d x+(x^2+y^2) d y
em uma integral dupla e calcule, onde gamma(t)=(cos (t), sin (t)), t in[0,2 pi].
Calcule ointgamma-y d x+x d y, onde gamma(t) é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (2,2).
Calcule
ointgamma x d x+y d y
onde gamma(t) é dada x=arctan (t) e y=sin (t^3), t in[0,1].
Calcule ointgamma x d x+(x^2+y+z) d y+x y z d z, onde gamma(t)=(t, 2 t, 1), t in[0,1].