Calcule
ointgamma x d x+y d y
onde gamma(t) é dada x=arctan (t) e y=sin (t^3), t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar das fórmulas para integrais paramétricas e das derivadas das funções que definem a curva .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a integral usando a variável x(t) = arctan(t) e y(t) = sin(t^3), t in [0, 1] . A curva está definida por:
Para fazer isso, precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 3

Calculando as derivadas das funções:
dxdt = ddt arctan(t) = 11 + t^2
dydt = ddt sin(t^3) = 3t^2 cos(t^3)

Passo 4

Agora, substituímos ointgamma x , dx + y , dy = integral0^1 [ arctan(t) cdot 11 + t^2 + sin(t^3) cdot 3t^2 cos(t^3) ] dt , , e na integral original:

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
  1. Para integral arctan(t) cdot 11 + t^2 dt = (arctan(t))^22 g|0^1 = pi^232 :
integral 3t^2 sin(t^3) cos(t^3) dt = 1 - cos(2)4
  1. Para :

Resposta

Somando as duas partes, temos:
ointgamma x , dx + y , dy = pi^232 + 1 - cos(2)4

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