Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
a circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e calcular o resultado. A integral de linha dada é:
onde
é a circunferência
. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo para converter integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
onde:
-
é a curva fechada, -
é a região delimitada por , -
e são funções de e .
No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): Explicação: A derivada deem relação a é 7, e a derivada de em relação a é zero porque não depende de . -
Derivada parcial de
em relação a ( ): Explicação: A derivada deem relação a é 3, e a derivada de em relação a é zero porque não depende de .
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a integral dupla será a área da região
multiplicada por 4.
Passo 5
A região
é o interior da circunferência
, que é um círculo com raio
. A área de um círculo é dada por:
Passo 6
Agora, multiplicamos a área por 4: