Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma(3 y-e^sin (x)) d x+7 x+raiz( y^4+1) d y
em uma integral dupla e calcule, onde gamma(t) a circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green! O enunciado pede para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e calcular o resultado. A integral de linha dada é:
ointgamma(3 y - e^sin(x)) dx + (7x + raizy^4+1) dy
onde gamma(t) é a circunferência x^2 + y^2 = 9. Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo para converter integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde:
  • C é a curva fechada,
  • D é a região delimitada por C,
  • P e Q são funções de x e y.
No nosso caso:
  • P = 3y - e^sin(x)
  • Q = 7x + raizy^4 + 1

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de Q em relação a x ( partial Qpartial x):
    partial Qpartial x = partialpartial x (7x + raizy^4 + 1) = 7 + 0 = 7
    Explicação: A derivada de 7x em relação a x é 7, e a derivada de raizy^4 + 1 em relação a x é zero porque não depende de x.
  2. Derivada parcial de P em relação a y ( partial Ppartial y):
    partial Ppartial y = partialpartial y (3y - e^sin(x)) = 3 - 0 = 3
    Explicação: A derivada de 3y em relação a y é 3, e a derivada de -e^sin(x) em relação a y é zero porque não depende de y.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD (7 - 3) dA = integral duplaD 4 , dA
Isso significa que a integral dupla será a área da região D multiplicada por 4.

Passo 5

A região D é o interior da circunferência x^2 + y^2 = 9, que é um círculo com raio r = 3. A área de um círculo é dada por:
Área = pi r^2 = pi (3)^2 = 9pi Á

Passo 6

Agora, multiplicamos a área por 4:
integral duplaD 4 , dA = 4 times 9pi = 36pi

Resposta

36pi

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