Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma x^5 d x+(x^2+y^2) d y
em uma integral dupla e calcule, onde gamma(t)=(cos (t), sin (t)), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral de linha usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente vai passar de uma integral que circula ao redor de uma curva para uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece uma relação entre a integral de linha ao redor de uma curva fechada gamma e uma integral dupla sobre a região D limitada por essa curva. A fórmula do teorema é:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Aqui, P e Q são funções das variáveis x e y.

Passo 3

No nosso caso, temos:
P = x^5 e Q = x^2 + y^2
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 + y^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (x^5) = 0

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD (2x - 0) , dx , dy = integral duplaD 2x , dx , dy
Então, a integral de linha original se transforma na integral dupla integral duplaD 2x , dx , dy.

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região D que é o interior do círculo dado por gamma(t) = (cos(t), sin(t)) para t in [0, 2pi]. Essa região é o disco unitário centrado na origem.
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcos(theta) e y = rsin(theta). O elemento de área em coordenadas polares é dx , dy = r , dr , dtheta.

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD 2x , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 2(rcos(theta)) cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 cos(theta) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Então, a integral fica:
2 cdot 13 integral0^2pi cos(theta) , dtheta = 23 integral0^2pi cos(theta) , dtheta

Passo 8

A integral de cos(theta) de 0 a 2pi é zero, pois a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam:
integral0^2pi cos(theta) , dtheta = 0

Resposta

A integral dupla resultante é igual a zero.

Exercícios relacionados

Calcule ointgamma-y d x+x d y, onde gamma(t) é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (2,2).
Determine a área do helicoide com equação vetorial r(u, v) = u c cos(v) i + u sen(v) j + v k ; 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi.
Calcule ointgamma f(x, y, z) d r, onde gamma(t)=(t, t, 1-t^2), t in[0,1] e f(x, y)=(0,0, x+y+z).
Calcule
ointgamma x d x+y d y
onde gamma(t) é dada x=arctan (t) e y=sin (t^3), t in[0,1].