Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar uma integral de linha usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente vai passar de uma integral que circula ao redor de uma curva para uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para resolver, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece uma relação entre a integral de linha ao redor de uma curva fechada
e uma integral dupla sobre a região
limitada por essa curva. A fórmula do teorema é:
Aqui,
e
são funções das variáveis
e
.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral de linha original se transforma na integral dupla
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
que é o interior do círculo dado por
para
. Essa região é o disco unitário centrado na origem.
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. O elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
A integral de
de
a
é zero, pois a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se cancelam:
Resposta
A integral dupla resultante é igual a zero.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices
e
.
Determine a área do helicoide com equação vetorial
.
Calcule
, onde
e
.
Calcule
onde
é dada
e
.