Calcule ointgamma-y d x+x d y, onde gamma(t) é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha ointgamma-y dx + x dy onde a curva gamma é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2). Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada gamma que delimita uma região D, a integral de linha ointgamma P dx + Q dy é igual à integral dupla sobre D de ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy. Ou seja:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy

Passo 3

No nosso caso, identifiquemos P e Q da integral dada:
P = -y e Q = x

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) dx dy = integral duplaD 2 , dx dy
Isso significa que a integral de linha original é igual a 2 vezes a área da região D.

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2). A base do triângulo é 2 unidades (de (0,0) a (2,0)) e a altura também é 2 unidades (de (2,0) a (2,2)). A área é calculada por:
Área = base times aÁ

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a área pela constante que encontramos:
2 times Área = 2 times 2 = 4 Á

Resposta

4

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