Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde a curva
é o triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre a área delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, identifiquemos
e
da integral dada:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral de linha original é igual a 2 vezes a área da região
.
Passo 6
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. A base do triângulo é 2 unidades (de
a
) e a altura também é 2 unidades (de
a
). A área é calculada por:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos a área pela constante que encontramos:
Resposta
4
Exercícios relacionados
Determine a área do helicoide com equação vetorial
.
Determine
onde
éa parte do plano
que está dentro do cilindro
.
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
.
Calcule
, onde
e
.