Calcule
ointgamma x^1 / 3 d x+11+y^2 d y
onde gamma(t) é uma curva cuja imagem é o quadrado de vértices de vértices (1,1),(-1,1), (-1,-1) e (1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um quadrado com vértices em (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). A integral que a gente tem é . Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointgamma P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy que delimita uma região , temos:
No nosso caso, identifique e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( 11+y^2 ) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^1/3 ) = 0

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 0 - 0 ) dx dy = integral duplaD 0 , dx dy = 0

Resposta

A integral vale zero.

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