Calcule
onde
é uma curva cuja imagem é o quadrado de vértices de vértices
,
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um quadrado com vértices em (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). A integral que a gente tem é
. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
No nosso caso, identifique
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Resposta
A integral vale zero.