Use o Teorema de Stokes para calcular a integral integral duplaS rot(F) d S, onde F(x, y, z)= x z i+y z j+x y k e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície da rotação do campo vetorial sobre a superfície . Essa superfície é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Pra resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Teorema de Stokes: Relaciona a integral de superfície da rotação de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície.
  2. Cálculo de rotacional (ou rotação) do campo vetorial .
  3. Parametrização da curva de contorno da superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F = x z i + y z j + x y k , que é representado por nabla times F = ( partial (x y)partial y - partial (y z)partial z ) i - ( partial (x z)partial z - partial (x y)partial x ) j + ( partial (y z)partial x - partial (x z)partial y ) k .
O campo vetorial é:
&i: partial (x y)partial y = x e partial (y z)partial z = y Rightarrow x - y &j: partial (x z)partial z = x e partial (x y)partial x = y Rightarrow x - y &k: partial (y z)partial x = 0 e partial (x z)partial y = 0 Rightarrow 0
O rotacional nabla times F = (x - y) i + (x - y) j + 0 k é dado por:
Calculando cada componente:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
integral duplaS nabla times F cdot dS = ointC F cdot dr
Onde:
  • 1 + z^2 = 4 Rightarrow z^2 = 3 Rightarrow z = raiz3 é a superfície dada.
  • x = cos theta, y = sin theta, z = raiz3 onde theta in [0, 2pi] é a borda de , ou seja, a curva de interseção entre a esfera e o cilindro.
  • é o vetor diferencial ao longo da curva .
Vamos parametrizar a curva . A curva está na interseção de e .
Resolvendo para :
Então, é um círculo horizontal no plano com raio 1. Podemos parametrizar usando:

Passo 4

Vamos calcular a integral de linha F(cos theta, sin theta, raiz3) = cos theta cdot raiz3 i + sin theta cdot raiz3 j + cos theta sin theta k .
Primeiro, expressamos dr = ddtheta(x, y, z) dtheta = (-sin theta, cos theta, 0) dtheta na curva F cdot dr = (cos theta raiz3)(-sin theta) + (sin theta raiz3)(cos theta) + (cos theta sin theta)(0) = -raiz3 cos theta sin theta + raiz3 sin theta cos theta + 0 = 0 :
O vetor diferencial é:
Então, o produto escalar é:

Resposta

A integral é igual a 0.

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