Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
, onde
e
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície da rotação do campo vetorial
sobre a superfície
. Essa superfície
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.
Pra resolver isso, vamos precisar entender:
- Teorema de Stokes: Relaciona a integral de superfície da rotação de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície.
- Cálculo de rotacional (ou rotação) do campo vetorial
. - Parametrização da curva de contorno
da superfície .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é representado por
.
O campo vetorial é:
O rotacional
é dado por:
Calculando cada componente:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde:
-
é a superfície dada. -
é a borda de , ou seja, a curva de interseção entre a esfera e o cilindro. -
é o vetor diferencial ao longo da curva .
Vamos parametrizar a curva
. A curva está na interseção de
e
.
Resolvendo para
:
Então,
é um círculo horizontal no plano
com raio 1. Podemos parametrizar
usando:
Passo 4
Vamos calcular a integral de linha
.
Primeiro, expressamos
na curva
:
O vetor diferencial
é:
Então, o produto escalar
é:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
é a imagem de uma triângulo constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
.
Calcule
onde
é uma curva cuja imagem é o quadrado de vértices de vértices
,
e
Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral
, onde:
e
é dada por
com
, sendo
o vetor normal apontado para cima
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
o vetor normal unitário apontado para fora de