Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente precisa usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície da rotação do campo vetorial sobre a superfície . Essa superfície é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Pra resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Teorema de Stokes: Relaciona a integral de superfície da rotação de um campo vetorial com a integral de linha do campo vetorial ao longo da borda da superfície.
  2. Cálculo de rotacional (ou rotação) do campo vetorial .
  3. Parametrização da curva de contorno da superfície .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é representado por .
O campo vetorial é:
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde:
  • é a superfície dada.
  • é a borda de , ou seja, a curva de interseção entre a esfera e o cilindro.
  • é o vetor diferencial ao longo da curva .
Vamos parametrizar a curva . A curva está na interseção de e .
Resolvendo para :
Então, é um círculo horizontal no plano com raio 1. Podemos parametrizar usando:

Passo 4

Vamos calcular a integral de linha .
Primeiro, expressamos na curva :
O vetor diferencial é:
Então, o produto escalar é:

Resposta

A integral é igual a 0.

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Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde: e é dada por com , sendo o vetor normal apontado para cima
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