Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
é a imagem de uma triângulo constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular esse valor. A integral que temos é:
Aqui,
é o contorno de um triângulo formado pelos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, temos:
No nosso caso,
e
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. Como
é o contorno de um triângulo com vértices em
,
e
, a região
é esse triângulo.
Para facilitar a integração, vamos escolher os limites de integração. Observando o triângulo, para cada
entre
e
,
varia de
até
. Então, podemos escrever a integral dupla como:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 6
Vamos calcular essa última integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, o valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é uma curva cuja imagem é o quadrado de vértices de vértices
,
e
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde
a circunferência
.
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral
, onde
e
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral
, onde:
e
é dada por
com
, sendo
o vetor normal apontado para cima