Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma x^2 d x+x y d y
em uma integral dupla e calcule, onde gamma(t) é a imagem de uma triângulo constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular esse valor. A integral que temos é:
ointgamma x^2 , dx + x y , dy
Aqui, gamma é o contorno de um triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região D no plano, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
No nosso caso, P = x^2 e Q = x y. Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
partial Ppartial y = partial (x^2)partial y = 0
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointgamma x^2 , dx + x y , dy = integral duplaD (y - 0) , dA = integral duplaD y , dA

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D sobre a qual vamos integrar. Como gamma é o contorno de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), a região D é esse triângulo.
Para facilitar a integração, vamos escolher os limites de integração. Observando o triângulo, para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até 1 - x. Então, podemos escrever a integral dupla como:
integral duplaD y , dA = integral0^1 integral0^1 - x y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^1 - x y , dy = [ y^22 ]0^1 - x = (1 - x)^22
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 (1 - 2x + x^2) , dx

Passo 6

Vamos calcular essa última integral:
12 [ integral0^1 1 , dx - 2 integral0^1 x , dx + integral0^1 x^2 , dx ]
Calculando cada parte:
  1. integral0^1 1 , dx = [x]0^1 = 1
  2. 2 integral0^1 x , dx = 2 [ x^22 ]0^1 = 2 cdot 12 = 1
  3. integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13
Substituindo de volta:
12 (1 - 1 + 13) = 12 cdot 13 = 16

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é 16.

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