Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde é a imagem de uma triângulo constituída pelos segmentos de reta de a , de a e de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla e depois calcular esse valor. A integral que temos é:
Aqui, é o contorno de um triângulo formado pelos pontos , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema diz que, para uma curva fechada que delimita uma região no plano, temos:
No nosso caso, e . Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 4

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. Como é o contorno de um triângulo com vértices em , e , a região é esse triângulo.
Para facilitar a integração, vamos escolher os limites de integração. Observando o triângulo, para cada entre e , varia de até . Então, podemos escrever a integral dupla como:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Passo 6

Vamos calcular essa última integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é .

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Calcule
onde é uma curva cuja imagem é o quadrado de vértices de vértices , e
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
em uma integral dupla e calcule, onde a circunferência .
Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano
Usando o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde: e é dada por com , sendo o vetor normal apontado para cima