Sejam uma função suave tal que em , um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de através de uma curva fechada simples contida em , na direção de sua normal exterior, é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que é suave (ou seja, bem comportada, com derivadas contínuas) definida em um conjunto aberto e simplesmente conexo no plano . A função satisfaz a equação , o que significa que é uma função harmônica. O que precisamos mostrar é que o fluxo do campo gradiente de através de uma curva fechada simples dentro de , na direção da normal exterior, é igual a zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), e propriedades das funções harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada. O fluxo do campo através de uma curva é dado por:
Aqui, é o vetor normal exterior à curva e é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da superfície. No caso do plano, nossa “superfície” é a região limitada pela curva . O Teorema da Divergência diz que:

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo gradiente . A divergência de é:
Mas, de acordo com o enunciado, sabemos que:
Então, a divergência de é zero em todo :

Passo 5

Substituindo isso na equação do Teorema da Divergência, temos:

Resposta

Portanto, o fluxo do campo gradiente de através da curva fechada é igual a zero.

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Usando o Teorema de Green, calcule onde é o círculo .
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Calcule sendo a curva fechada do domínio limitado entre e , percorrida no sentido anti-horário.
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