Sejam
uma função suave tal que
em
, um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de
através de uma curva fechada simples contida em
, na direção de sua normal exterior, é zero.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é suave (ou seja, bem comportada, com derivadas contínuas) definida em um conjunto aberto e simplesmente conexo
no plano
. A função satisfaz a equação
, o que significa que
é uma função harmônica. O que precisamos mostrar é que o fluxo do campo gradiente de
através de uma curva fechada simples dentro de
, na direção da normal exterior, é igual a zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), e propriedades das funções harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada. O fluxo
do campo
através de uma curva
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal exterior à curva
e
é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da superfície. No caso do plano, nossa “superfície” é a região
limitada pela curva
. O Teorema da Divergência diz que:
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo gradiente
. A divergência de
é:
Mas, de acordo com o enunciado, sabemos que:
Então, a divergência de
é zero em todo
:
Passo 5
Substituindo isso na equação do Teorema da Divergência, temos:
Resposta
Portanto, o fluxo do campo gradiente de
através da curva fechada
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Usando o Teorema de Green, calcule
onde
é o círculo
.
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Calcule
sendo
a curva fechada do domínio limitado entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.
Usando integral de linha, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.