Sejam f: Omega subset R^2 R uma função suave tal que partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 em Omega, um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de f através de uma curva fechada simples contida em Omega, na direção de sua normal exterior, é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que é suave (ou seja, bem comportada, com derivadas contínuas) definida em um conjunto aberto e simplesmente conexo no plano . A função satisfaz a equação , o que significa que é uma função harmônica. O que precisamos mostrar é que o fluxo do campo gradiente de através de uma curva fechada simples dentro de , na direção da normal exterior, é igual a zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), e propriedades das funções harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada. O fluxo Phi = ointC nabla f cdot n , ds do campo através de uma curva é dado por:
Aqui, é o vetor normal exterior à curva e é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro da superfície. No caso do plano, nossa “superfície” é a região ointC nabla f cdot n , ds = integral duplaD div(nabla f) , dA limitada pela curva . O Teorema da Divergência diz que:

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo gradiente div(nabla f) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 . A divergência de partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 é:
div(nabla f) = 0
Mas, de acordo com o enunciado, sabemos que:
Então, a divergência de é zero em todo :

Passo 5

Substituindo isso na equação do Teorema da Divergência, temos:
ointC nabla f cdot n , ds = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

Portanto, o fluxo do campo gradiente de Phi = 0 através da curva fechada é igual a zero.

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