Usando o Teorema de Green, calcule ointgamma 2 x^2 y^3 d x+3 x y d y onde gamma é o círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o círculo definido por . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções na integral de linha:
  • ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, é o caminho fechado (no nosso caso, o círculo ) e é a região interna a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (3 x y) = 3 y
partial Ppartial y = partialpartial y (2 x^2 y^3) = 6 x^2 y^2
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3 y - 6 x^2 y^2

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região integral duplaD (3 y - 6 x^2 y^2) dx dy :
x = r cos theta e y = r sin theta
Como dx dy = r dr dtheta é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
E o elemento de área se transforma em:
Os limites de integração serão de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Substituindo as coordenadas polares na expressão:
3 y - 6 x^2 y^2 = 3 (r sin theta) - 6 (r cos theta)^2 (r sin theta)^2 = 3 r sin theta - 6 r^4 cos^2 theta sin^2 theta
Então, a integral dupla fica:
integral0^2pi integral0^1 (3 r sin theta - 6 r^4 cos^2 theta sin^2 theta) r dr dtheta = integral0^2pi integral0^1 (3 r^2 sin theta - 6 r^5 cos^2 theta sin^2 theta) dr dtheta

Passo 6

Vamos separar as duas integrais e resolver cada uma:
  1. Primeira integral:
3 integral0^2pi sin theta ( integral0^1 r^2 dr ) dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^1 r^2 dr = 13
Então:
3 times 13 integral0^2pi sin theta dtheta = 1 times ( -cos theta )0^2pi = -cos (2pi) + cos 0 = -1 + 1 = 0
  1. Segunda integral:
-6 integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta ( integral0^1 r^5 dr ) dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^1 r^5 dr = 16
Então:
-6 times 16 integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta = -1 times integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta
Sabemos que:
cos^2 theta sin^2 theta = 14 sin^2 2theta
Então:
integral0^2pi cos^2 theta sin^2 theta dtheta = 14 integral0^2pi sin^2 2theta dtheta = 14 times pi = pi4
Portanto:
-1 times pi4 = -pi4

Resposta

A integral é igual a .

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