Usando o Teorema de Green, calcule onde é o círculo .

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o círculo definido por . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui, é o caminho fechado (no nosso caso, o círculo ) e é a região interna a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região :
Como é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
E o elemento de área se transforma em:
Os limites de integração serão de 0 a 1 e de 0 a .

Passo 5

Substituindo as coordenadas polares na expressão:
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Vamos separar as duas integrais e resolver cada uma:
  1. Primeira integral:
Calculando a integral interna:
Então:
  1. Segunda integral:
Calculando a integral interna:
Então:
Sabemos que:
Então:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a .

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