Usando o Teorema de Green, calcule
onde
é o círculo
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
é o círculo definido por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções na integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Aqui,
é o caminho fechado (no nosso caso, o círculo
) e
é a região interna a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região
:
Como
é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
E o elemento de área se transforma em:
Os limites de integração serão
de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 5
Substituindo as coordenadas polares na expressão:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos separar as duas integrais e resolver cada uma:
- Primeira integral:
Calculando a integral interna:
Então:
- Segunda integral:
Calculando a integral interna:
Então:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Ache a solução geral de cada uma das seguintes EDO
Resolva a EDO
, de duas formas diferentes:
Pelo método da variação de Parâmetros
Pelo método da variação de Parâmetros
Sejam
uma função suave tal que
em
, um aberto simplesmente conexo. Mostre que o fluxo do campo gradiente de
através de uma curva fechada simples contida em
, na direção de sua normal exterior, é zero.
Calcule
sendo
a curva fechada do domínio limitado entre
e
, percorrida no sentido anti-horário.