Determine a área do helicoide com equação vetorial r(u, v) = u c cos(v) i + u sen(v) j + v k ; 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área de um helicoide definido pela equação vetorial , onde e . A gente vai usar conceitos de cálculo de superfícies paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma superfície definida por uma equação vetorial. A fórmula geral é:
Aqui, e são as derivadas parciais da posição vetorial em relação a e , respectivamente, e o símbolo representa o produto vetorial. A significa que vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Então,
Agora, a derivada de em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
Usando a regra do determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do produto vetorial:
Para a componente :
Então, o produto vetorial fica:
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para calcular a área:
Para simplificar a integração, podemos fatorar :
Dependendo do valor de , a integral pode ou não ter uma solução elementar. Porém, sem valores específicos para , vamos deixar a integral nessa forma.

Resposta

A área do helicoide é dada pela integral dupla:

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