Determine a área do helicoide com equação vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área de um helicoide definido pela equação vetorial , onde e . A gente vai usar conceitos de cálculo de superfícies paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma superfície definida por uma equação vetorial. A fórmula geral é:
Aqui, e são as derivadas parciais da posição vetorial em relação a e , respectivamente, e o símbolo representa o produto vetorial. A significa que vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Então,
Agora, a derivada de em relação a :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
Usando a regra do determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do produto vetorial:
Para a componente :
Então, o produto vetorial fica:
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para calcular a área:
Para simplificar a integração, podemos fatorar :
Dependendo do valor de , a integral pode ou não ter uma solução elementar. Porém, sem valores específicos para , vamos deixar a integral nessa forma.