Determine a área do helicoide com equação vetorial r(u, v) = u c cos(v) i + u sen(v) j + v k ; 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área de um helicoide definido pela equação vetorial , onde e . A gente vai usar conceitos de cálculo de superfícies paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de uma superfície definida por uma equação vetorial. A fórmula geral é:
Aqui, e são as derivadas parciais da posição vetorial em relação a e , respectivamente, e o símbolo representa o produto vetorial. A significa que vamos calcular o módulo (ou comprimento) desse produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Então,
Agora, a derivada de em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais:
Usando a regra do determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do produto vetorial:
Para a componente :
Então, o produto vetorial fica:
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para calcular a área:
Para simplificar a integração, podemos fatorar :
Dependendo do valor de , a integral pode ou não ter uma solução elementar. Porém, sem valores específicos para , vamos deixar a integral nessa forma.

Resposta

A área do helicoide é dada pela integral dupla:

Exercícios relacionados

Determine integral duplaS(x^2 z+y^2 z) d S onde S éa parte do plano z=4+x+y que está dentro do cilindro x^2+y^2=4.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y) = x * y * e^(x^2 + y^2).
Calcule ointgamma-y d x+x d y, onde gamma(t) é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (2,2).
Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma x^5 d x+(x^2+y^2) d y
em uma integral dupla e calcule, onde gamma(t)=(cos (t), sin (t)), t in[0,2 pi].