Determine integral duplaS(x^2 z+y^2 z) d S onde S éa parte do plano z=4+x+y que está dentro do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla: . O conjunto é a parte do plano que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de superfície e como parametrizar a região sobre a qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. O plano é dado por , e o cilindro é , que é um cilindro circular de raio 2 ao redor do eixo . A parte do plano que estamos interessados está exatamente dentro desse cilindro.

Passo 3

Para resolver a integral de superfície, podemos usar parametrização cilíndrica, pois a região de integração é circular. Vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares: e . O raio vai de 0 a 2 (já que o cilindro tem raio 2) e vai de 0 a .

Passo 4

No plano x^2 z + y^2 z = (r^2cos^2theta)(4 + rcostheta + rsintheta) + (r^2sin^2theta)(4 + rcostheta + rsintheta) , substituindo as coordenadas polares, temos . Agora, vamos expressar a função que queremos integrar em termos de e :

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^2 z + y^2 z = r^2( cos^2theta + sin^2theta )(4 + rcostheta + rsintheta ) = r^2(1)(4 + rcostheta + rsintheta )
Então, a função a ser integrada fica:
f(r, theta) = r^2(4 + rcostheta + rsintheta )

Passo 6

Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos também do elemento de área dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , r , dr , dtheta . Para um plano partial zpartial x = 1 e partial zpartial y = 1 , o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
dS = raiz1 + 1 + 1 , r , dr , dtheta = raiz3 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaS(x^2 z + y^2 z) dS = integral0^2pi integral0^2 r^2(4 + rcostheta + rsintheta ) cdot raiz3 , r , dr , dtheta
Simplificando:
raiz3 integral0^2pi integral0^2 r^3(4 + rcostheta + rsintheta ) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^2 r^3(4 + rcostheta + rsintheta ) , dr = integral0^2 4r^3 + r^4costheta + r^4sintheta , dr :
4 cdot r^44 + costheta cdot r^55 + sintheta cdot r^55 g|0^2 = 2^4 + costheta cdot 325 + sintheta cdot 325 = 16 + 325(costheta + sintheta)
Integrando termo a termo:

Passo 9

Substituindo na integral externa:
raiz3 integral0^2pi (16 + 325(costheta + sintheta)) dtheta = raiz3 [16 cdot 2pi + 325 ( integral0^2pi costheta , dtheta + integral0^2pi sintheta , dtheta ) ]
Sabemos que raiz3 cdot 16 cdot 2pi = 32piraiz3 e , então:

Resposta

A integral vale .

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