Determine onde éa parte do plano que está dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa calcular uma integral dupla: . O conjunto é a parte do plano que está dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de superfície e como parametrizar a região sobre a qual vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos. O plano é dado por , e o cilindro é , que é um cilindro circular de raio 2 ao redor do eixo . A parte do plano que estamos interessados está exatamente dentro desse cilindro.
Passo 3
Para resolver a integral de superfície, podemos usar parametrização cilíndrica, pois a região de integração é circular. Vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares: e . O raio vai de 0 a 2 (já que o cilindro tem raio 2) e vai de 0 a .
Passo 4
No plano , substituindo as coordenadas polares, temos . Agora, vamos expressar a função que queremos integrar em termos de e :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Então, a função a ser integrada fica:
Passo 6
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos também do elemento de área . Para um plano , o elemento de área em coordenadas polares é dado por: