U(a) Calcule d zd t, onde z=sen(2 x^2 y), x=2 t^3+t^2 e y=t^4.
(b) Seja f(x, y)=2 r^2 y^2+3 r, onde x=r cos theta e y=r sen theta. Determine as derivadas parciais partial fpartial r e partial fpartial theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . A função dada é , e as relações entre e são e . Vamos precisar usar a regra da cadeia para calcular essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar f(r, theta) = 2 r^2 (r sen theta)^2 + 3 r totalmente em termos de e . Sabemos que , então substituindo isso na função :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial r = partialpartial r (2 r^4 sen^2 theta + 3 r) = 8 r^3 sen^2 theta + 3 em relação a , ou seja, . Como é uma função de e , mantemos constante ao derivar em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial theta = partialpartial theta (2 r^4 sen^2 theta + 3 r) = 2 r^4 cdot 2 sen theta cos theta = 4 r^4 sen theta cos theta em relação a , ou seja, . Aqui, mantemos constante ao derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados