Calcule a transformada de Laplace pela definição :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função usando a definição da transformada de Laplace, que é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo integral e transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, substituímos na definição da transformada de Laplace:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral:
Esta é uma integral do tipo , onde . Sabemos que:
Mas, como estamos integrando de 0 a infinito, precisamos avaliar os limites.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a infinito:
Para que a integral convirja, a parte exponencial deve tender a zero quando tende a infinito. Isso acontece se .

Passo 5

Avalie o limite em e em :
E para :
Então, a integral é:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Calcule onde
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja um constante .
Ache o vetor normal ao plano tangente ao gráfico de no ponto .
Use a regra de L(a) ,