Calcule a transformada de Laplace pela definição
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada de Laplace, que é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo integral e transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na definição da transformada de Laplace:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral:
Esta é uma integral do tipo
, onde
. Sabemos que:
Mas, como estamos integrando de 0 a infinito, precisamos avaliar os limites.
Passo 4
Aplicando os limites de 0 a infinito:
Para que a integral convirja, a parte exponencial
deve tender a zero quando
tende a infinito. Isso acontece se
.
Passo 5
Avalie o limite em
e em
:
E para
:
Então, a integral é:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: