Calcule a transformada de Laplace pela definição Lf(t)=integral0^infty e^-s t f(t) d t : f(t)=t e^4 t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt usando a definição da transformada de Laplace, que é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de cálculo integral e transformadas de Laplace, que são ferramentas usadas para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, substituímos Lt e^4t = integral0^infty e^-s t cdot t e^4t , dt na definição da transformada de Laplace:
e^-s t cdot e^4t = e^(4 - s)t
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral0^infty t e^(4 - s)t , dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^infty t e^(4 - s)t , dt
Esta é uma integral do tipo integral t e^a t , dt = e^a ta^2 (a t - 1) + C , onde . Sabemos que:
Mas, como estamos integrando de 0 a infinito, precisamos avaliar os limites.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a infinito:
[ e^(4 - s)t(4 - s)^2 ( (4 - s)t - 1 ) ]0^infty
Para que a integral convirja, a parte exponencial deve tender a zero quando tende a infinito. Isso acontece se .

Passo 5

Avalie o limite em limt to infty e^(4 - s)t(4 - s)^2 ( (4 - s)t - 1 ) = 0 (porque ( s > 4 )) e em e^0(4 - s)^2 ( 0 - 1 ) = -1(4 - s)^2 :
0 - ( -1(4 - s)^2 ) = 1(s - 4)^2
E para :
Então, a integral é:

Resposta

A transformada de Laplace de Lt e^4t = 1(s - 4)^2, para s > 4 é:

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