Calcule o operador linear
, tal que
tenha autovalores
e
associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o operador linear
que tem dois autovalores,
e
, associados aos autovetores
e
, respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os autovetores em uma matriz chamada
. Essa matriz terá os autovetores como colunas:
Isso porque cada coluna de
representa um autovetor correspondente aos autovalores fornecidos.
Passo 3
Agora, vamos criar uma matriz diagonal
que contém os autovalores na diagonal principal. A matriz
fica assim:
Essa matriz diagonal tem os autovalores
e
na diagonal, alinhados com os autovetores em
.
Passo 4
Para encontrar a matriz do operador linear
, que chamaremos de
, usamos a fórmula de diagonalização:
Aqui,
é a matriz inversa de
. Vamos calcular
:
Primeiro, encontramos o determinante de
:
Agora, a matriz inversa
é dada por:
Passo 5
Finalmente, multiplicamos as matrizes
,
e
para obter
:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Primeiro,
:
[
]
Agora, multiplicamos o resultado por
:
[
]
Resposta
O operador linear
é representado pela matriz:
Exercícios relacionados
Determinar o versor de
nos casos
Dados
e
, a), calcular o valor de a para que se tenha
.
Dados
e
, determinar os vetores
Dados
e
calcular