Calcule o operador linear T: R^2 R^2, tal que T tenha autovalores lambda1=2 e lambda2=-3 associados aos autovetores v1=(1,-1) e v2=(-1,0), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o operador linear que tem dois autovalores, e , associados aos autovetores e , respectivamente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os autovetores em uma matriz chamada P = 1 & -1 -1 & 0 . Essa matriz terá os autovetores como colunas:
Isso porque cada coluna de representa um autovetor correspondente aos autovalores fornecidos.

Passo 3

Agora, vamos criar uma matriz diagonal D = 2 & 0 0 & -3 que contém os autovalores na diagonal principal. A matriz fica assim:
Essa matriz diagonal tem os autovalores e na diagonal, alinhados com os autovetores em .

Passo 4

Para encontrar a matriz do operador linear A = P D P^-1 , que chamaremos de det(P) = (1)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1 , usamos a fórmula de diagonalização:
P^-1 = 1det(P) 0 & 1 1 & 1 = 0 & -1 -1 & -1
Aqui, é a matriz inversa de . Vamos calcular :
Primeiro, encontramos o determinante de :
Agora, a matriz inversa é dada por:

Passo 5

Finalmente, multiplicamos as matrizes A = P D P^-1 = 1 & -1 -1 & 0 2 & 0 0 & -3 0 & -1 -1 & -1 , 1 & -1 -1 & 0 2 & 0 0 & -3 = 1 times 2 + (-1) times 0 & 1 times 0 + (-1) times (-3) -1 times 2 + 0 times 0 & -1 times 0 + 0 times (-3) = 2 & 3 -2 & 0 e 2 & 3 -2 & 0 0 & -1 -1 & -1 = 2 times 0 + 3 times (-1) & 2 times (-1) + 3 times (-1) -2 times 0 + 0 times (-1) & -2 times (-1) + 0 times (-1) = -3 & -5 0 & 2 para obter :
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Primeiro, :

[


]
Agora, multiplicamos o resultado por :

[


]

Resposta

O operador linear T = -3 & -5 0 & 2 é representado pela matriz:

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