Dados u=(a+1,2) e v=(-3, a), calcular o valor de a para que se tenha u cdot v=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e precisa encontrar o valor de que faz o produto escalar desses vetores ser igual a zero. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre produto escalar e vetores. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e usar a condição de que ele deve ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se tivermos u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2 e , o produto escalar é dado por:
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma esses produtos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores u cdot v = (a + 1) times (-3) + 2 times a e u cdot v = -3(a + 1) + 2a . Substituindo, temos:
Simplificando os cálculos:

Passo 4

A próxima etapa é igualar esse produto escalar a zero, já que queremos que -3(a + 1) + 2a = 0 :
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Distribuindo o -3a - 3 + 2a = 0 dentro do parêntese:
-3a + 2a - 3 = 0 -a - 3 = 0
Agora, combinando os termos semelhantes:
-a = 3 a = -3
Isolando o :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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