Calcule |llll1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4|.

Passo 1

Vamos resolver o determinante da seguinte matriz:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4
Esse exercício está relacionado à Álgebra Linear, mais especificamente ao cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver, vamos utilizar propriedades de determinantes e realizar operações nas linhas para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que todas as linhas começam com 1. Podemos simplificar o determinante realizando operações entre as linhas. Vamos subtrair a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas. Essa operação não altera o valor do determinante.

[
1 & 1 & 1 & 1 1-1 & 2-1 & 2-1 & 2-1 1-1 & 2-1 & 3-1 & 3-1 1-1 & 2-1 & 3-1 & 4-1 = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 & 3


]

Passo 3

Agora, note que a primeira coluna tem zeros abaixo do primeiro elemento. Isso facilita o cálculo do determinante, já que podemos expandir pela primeira coluna. O determinante será igual ao elemento Determinante = 1 times 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 multiplicado pelo determinante da matriz que sobra após remover a primeira linha e primeira coluna.

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz 3x3:
1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3
Podemos simplificar essa matriz realizando operações entre as linhas. Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira linhas:

[
1 & 1 & 1 1-1 & 2-1 & 2-1 1-1 & 2-1 & 3-1 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 2


]

Passo 5

Agora, para calcular o determinante dessa matriz 3x3, podemos expandir pela primeira coluna novamente:
Determinante da 3x3 = 1 times 1 & 1 1 & 2

Passo 6

Calculamos o determinante da matriz 2x2:
1 & 1 1 & 2 = (1 times 2) - (1 times 1) = 2 - 1 = 1

Passo 7

Agora, voltando aos passos anteriores:
Determinante da 3x3 = 1 times 1 = 1
E, portanto:
Determinante da 4x4 = 1 times 1 = 1

Resposta

O determinante da matriz dada é igual a 1.

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