Calcule |llll1 & 1 & 0 & x x & 1 & x & 0 x & x & 1 & 0 x & 1 & 0 & 1| R.: (x^3-1)(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante de uma matriz 4x4. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes usando propriedades e operações de linhas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a matriz para facilitar o cálculo, usando operações que não mudam o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, olhe para a matriz:
1 & 1 & 0 & x x & 1 & x & 0 x & x & 1 & 0 x & 1 & 0 & 1
Vamos tentar simplificar fazendo operações nas linhas. Observe que temos muitas entradas com “x”, então vamos tentar eliminar algumas delas para facilitar.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha para eliminar os “x” nas outras linhas. Para isso, subtraímos “x” vezes a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas.
Linha 2: Linha2 - x * Linha1
1 & 1 & 0 & x 0 & 1 - x & x & -x^2 x & x & 1 & 0 x & 1 & 0 & 1
Linha 3: Linha3 - x * Linha1
1 & 1 & 0 & x 0 & 1 - x & x & -x^2 0 & x - x & 1 & -x x & 1 & 0 & 1
Simplificando a linha 3:
1 & 1 & 0 & x 0 & 1 - x & x & -x^2 0 & 0 & 1 & -x x & 1 & 0 & 1
Linha 4: Linha4 - x * Linha1
1 & 1 & 0 & x 0 & 1 - x & x & -x^2 0 & 0 & 1 & -x 0 & 1 - x & 0 & 1 - x^2

Passo 4

Agora, a matriz está mais simples. Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Como já temos zeros em posições estratégicas, facilitará o cálculo.
Vamos expandir o determinante pela quarta linha:
1 & 1 & 0 & x 0 & 1 - x & x & -x^2 0 & 0 & 1 & -x 0 & 1 - x & 0 & 1 - x^2

Passo 5

Calculando o determinante:
= (0) cdot det() - (1 - x) cdot det(1 & 0 & x 0 & 1 & -x^2 0 & 1 & -x ) + (0) cdot det() - (1 - x^2) cdot det(1 & 1 & 0 0 & 1 - x & x 0 & 0 & 1 )
Simplificando:
= - (1 - x) cdot (1 cdot (-x) - 0 cdot (-x^2)) - (1 - x^2) cdot (1 cdot (1 - x) - 1 cdot 0)
= - (1 - x)(-x) - (1 - x^2)(1 - x)
= x(1 - x) - (1 - x)(1 + x)(1 - x)
= x(1 - x) - (1 - x)^2(1 + x)

Passo 6

Agora, fatoramos:
= (1 - x) [ x - (1 - x)(1 + x) ]
= (1 - x) [ x - (1 - x^2) ]
= (1 - x) (x - 1 + x^2)
= (1 - x)(x^2 + x - 1)
Observando que (aplicando a fatoração correta)

Resposta

(x^3-1)(x-1)

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