Dadas as matrizes A=[cc5 & -2 -1 & 2], B=[cc0 & -1 6 & -8] e C=[cc-5 & 1 0 & -3], calcule: X, de modo que A X=B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes , e dadas, mas a questão quer que a gente encontre a matriz de modo que . Isso envolve álgebra de matrizes, especificamente a operação de encontrar a matriz que, quando multiplicada por , resulta em . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, para achar na equação , a gente pode “desfazer” a multiplicação por multiplicando ambos os lados da equação pela inversa de , que é . A inversa de uma matriz existe somente se o determinante de for diferente de zero.

Passo 3

Então, vamos calcular o determinante da matriz A = 5 & -2 -1 & 2 para garantir que ela tem inversa. A matriz det(A) = (5)(2) - (-2)(-1) = 10 - 2 = 8 é:
O determinante de é calculado assim:
Como o determinante é 8, que é diferente de zero, tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , ou seja, a & b c & d . Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
A^-1 = 18 2 & 2 1 & 5 = 28 & 28 18 & 58 = 14 & 14 18 & 58
Onde são os elementos da matriz .
Aplicando isso à nossa matriz :

Passo 5

Com a inversa de A^-1 times A times X = A^-1 times B encontrada, podemos resolver para I times X = A^-1 times B implies X = A^-1 times B multiplicando ambos os lados da equação original por A^-1 = 14 & 14 18 & 58 , B = 0 & -1 6 & -8 :
X = (14 times 0) + (14 times 6) & (14 times -1) + (14 times -8) (18 times 0) + (58 times 6) & (18 times -1) + (58 times -8)
Sabemos que X = 0 + 64 & -14 - 84 0 + 308 & -18 - 408 = 32 & -94 154 & -418 é a matriz identidade , então:
Agora, vamos multiplicar pela matriz :
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda:
Calculando cada elemento:

Resposta

A matriz X = 32 & -94 154 & -418 que satisfaz é:

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