Calcule , sabendo que , sendo dois a dois ortogonais. Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor absoluto do produto misto de três vetores, que são , e . Sabemos que as normas desses vetores são , e , e que eles são ortogonais dois a dois. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e , representado por , é um número que nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses vetores. Matematicamente, ele é calculado como o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Quando os três vetores são ortogonais entre si, o cálculo do produto misto fica mais simples. Nesse caso, o valor absoluto do produto misto é igual ao produto das normas dos três vetores. Isso porque, como são ortogonais, os ângulos entre eles são de 90 graus, e o determinante da matriz se simplifica para a multiplicação dos módulos.

Passo 4

Então, aplicando essa propriedade, temos:
Substituindo pelos valores dados:

Resposta

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(Matrizes singulares.)
(Determinar os valores do parâmetro para os quais a matriz é singular).
Determine as regiões do plano:
Determine o ponto do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos e e que sua distância ao ponto é . Resp.: .
Seja um paralelogramo. Pelos vértices e são traçadas retas paralelas entre si. Um plano corta estas retas em pontos e , situados no mesmo semiespaço relativo ao plano , de modo que e . Mostre que .