Seja um paralelogramo. Pelos vértices e são traçadas retas paralelas entre si. Um plano corta estas retas em pontos e , situados no mesmo semiespaço relativo ao plano , de modo que e . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo e algumas retas paralelas traçadas a partir de seus vértices. Um plano corta essas retas nos pontos , , e , todos do mesmo lado do plano original . As distâncias entre os vértices e os pontos de corte são , , e , respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de igual comprimento. Além disso, suas diagonais se bissetam, ou seja, se cortam pela metade.
Passo 3
Agora, vamos considerar as retas paralelas traçadas a partir dos vértices , , e . Todas essas retas são cortadas pelo plano nos pontos , , e . Como as retas são todas paralelas, os segmentos , , e são todos perpendiculares ao plano .
Passo 4
Vamos pensar nas diagonais do paralelogramo . As diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma. Isso significa que a metade da diagonal é igual à metade da diagonal .
Passo 5
Quando o plano corta as retas paralelas, ele também corta as diagonais e nos pontos médios e , respectivamente. Como as retas são paralelas, a proporção entre os segmentos cortados pelo plano é a mesma para ambas as diagonais.
Passo 6
Agora, temos que a soma das distâncias corresponde à distância total ao longo da diagonal , e a soma corresponde à distância total ao longo da diagonal . Mas como as diagonais de um paralelogramo se bissetam, essas somas devem ser iguais.