Seja um paralelogramo. Pelos vértices e são traçadas retas paralelas entre si. Um plano corta estas retas em pontos e , situados no mesmo semiespaço relativo ao plano , de modo que e . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo e algumas retas paralelas traçadas a partir de seus vértices. Um plano corta essas retas nos pontos , , e , todos do mesmo lado do plano original . As distâncias entre os vértices e os pontos de corte são , , e , respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de igual comprimento. Além disso, suas diagonais se bissetam, ou seja, se cortam pela metade.

Passo 3

Agora, vamos considerar as retas paralelas traçadas a partir dos vértices , , e . Todas essas retas são cortadas pelo plano nos pontos , , e . Como as retas são todas paralelas, os segmentos , , e são todos perpendiculares ao plano .

Passo 4

Vamos pensar nas diagonais do paralelogramo . As diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma. Isso significa que a metade da diagonal é igual à metade da diagonal .

Passo 5

Quando o plano corta as retas paralelas, ele também corta as diagonais e nos pontos médios e , respectivamente. Como as retas são paralelas, a proporção entre os segmentos cortados pelo plano é a mesma para ambas as diagonais.

Passo 6

Agora, temos que a soma das distâncias corresponde à distância total ao longo da diagonal , e a soma corresponde à distância total ao longo da diagonal . Mas como as diagonais de um paralelogramo se bissetam, essas somas devem ser iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Determine o ponto do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos e e que sua distância ao ponto é . Resp.: .
Calcule , sabendo que , sendo dois a dois ortogonais. Resposta:
No sistema de coordenadas cartesianas, o que representa geometricamente a equação ?
Discuta a posição relativa das duas retas a seguir em função do valor de e . Resp.: se são paralelas, do contrário são concorrentes, não havendo possibilidade de serem coincidentes.