Seja A B C D um paralelogramo. Pelos vértices A, B, C e D são traçadas retas paralelas entre si. Um plano alpha corta estas retas em pontos A^prime, B^prime, C^prime e D^prime, situados no mesmo semiespaço relativo ao plano A B C D, de modo que A A^prime=a, B B^prime=b, C C^prime=c e D D^prime=d. Mostre que a+c=b+d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo ABCD e algumas retas paralelas traçadas a partir de seus vértices. Um plano alpha corta essas retas nos pontos A', B', C' e D', todos do mesmo lado do plano original ABCD. As distâncias entre os vértices e os pontos de corte são a, b, c e d, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que a + c = b + d.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de igual comprimento. Além disso, suas diagonais se bissetam, ou seja, se cortam pela metade.

Passo 3

Agora, vamos considerar as retas paralelas traçadas a partir dos vértices A, B, C e D. Todas essas retas são cortadas pelo plano alpha nos pontos A', B', C' e D'. Como as retas são todas paralelas, os segmentos AA', BB', CC' e DD' são todos perpendiculares ao plano alpha.

Passo 4

Vamos pensar nas diagonais do paralelogramo ABCD. As diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma. Isso significa que a metade da diagonal AC é igual à metade da diagonal BD.

Passo 5

Quando o plano alpha corta as retas paralelas, ele também corta as diagonais AC e BD nos pontos médios E e F, respectivamente. Como as retas são paralelas, a proporção entre os segmentos cortados pelo plano alpha é a mesma para ambas as diagonais.

Passo 6

Agora, temos que a soma das distâncias a + c corresponde à distância total ao longo da diagonal AC, e a soma b + d corresponde à distância total ao longo da diagonal BD. Mas como as diagonais de um paralelogramo se bissetam, essas somas devem ser iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que a + c = b + d.

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