Seja um paralelogramo. Pelos vértices e são traçadas retas paralelas entre si. Um plano corta estas retas em pontos e , situados no mesmo semiespaço relativo ao plano , de modo que e D D^prime=d. Mostre que a+c=b+d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um paralelogramo ABCD e algumas retas paralelas traçadas a partir de seus vértices. Um plano alpha corta essas retas nos pontos A', B', C' e D', todos do mesmo lado do plano original ABCD. As distâncias entre os vértices e os pontos de corte são a, b, c e d, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que a + c = b + d.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero com lados opostos paralelos e de igual comprimento. Além disso, suas diagonais se bissetam, ou seja, se cortam pela metade.
Passo 3
Agora, vamos considerar as retas paralelas traçadas a partir dos vértices A, B, C e D. Todas essas retas são cortadas pelo plano alpha nos pontos A', B', C' e D'. Como as retas são todas paralelas, os segmentos AA', BB', CC' e DD' são todos perpendiculares ao plano alpha.
Passo 4
Vamos pensar nas diagonais do paralelogramo ABCD. As diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma. Isso significa que a metade da diagonal AC é igual à metade da diagonal BD.
Passo 5
Quando o plano alpha corta as retas paralelas, ele também corta as diagonais AC e BD nos pontos médios E e F, respectivamente. Como as retas são paralelas, a proporção entre os segmentos cortados pelo plano alpha é a mesma para ambas as diagonais.
Passo 6
Agora, temos que a soma das distâncias a + c corresponde à distância total ao longo da diagonal AC, e a soma b + d corresponde à distância total ao longo da diagonal BD. Mas como as diagonais de um paralelogramo se bissetam, essas somas devem ser iguais.