Determine as regiões do plano:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as regiões do plano onde o produto
é menor ou igual a zero, ou seja,
. Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica e entender como desenhar essas regiões no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos analisar quando o produto de
e
resulta em números negativos ou iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O produto de dois números é menor ou igual a zero quando:
- Um número é positivo e o outro é negativo.
- Pelo menos um dos números é zero.
Então, precisamos identificar onde no plano isso acontece.
Passo 3
Vamos dividir o plano cartesiano em quatro quadrantes, conforme os sinais de
e
:
- Primeiro quadrante:
e - Segundo quadrante:
e - Terceiro quadrante:
e - Quarto quadrante:
e
Vamos ver em quais quadrantes o produto
é menor ou igual a zero.
Passo 4
No Primeiro quadrante,
e
são ambos positivos, então
. Não está na região que queremos.
No Segundo quadrante,
é negativo e
é positivo, então
. Essa região está dentro do que buscamos.
No Terceiro quadrante,
e
são ambos negativos, então
. Também não está na região desejada.
No Quarto quadrante,
é positivo e
é negativo, então
. Essa região também está dentro do que queremos.
Passo 5
Além dos quadrantes onde
, precisamos considerar os eixos onde
ou
. Nesses casos,
, que também satisfaz
. Portanto, os eixos
e
também fazem parte da região que estamos determinando.
Resposta
As regiões do plano onde
são:
- O Segundo quadrante (
e ) - O Quarto quadrante (
e ) - Os eixos das abscissas (
) e ordenadas ( )
Visualmente, isso corresponde aos quadrantes onde os sinais de
e
são diferentes, além dos eixos.