Determine as regiões do plano: (x, y) in R^2 / xy <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as regiões do plano onde o produto é menor ou igual a zero, ou seja, . Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica e entender como desenhar essas regiões no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos analisar quando o produto de e resulta em números negativos ou iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O produto de dois números é menor ou igual a zero quando:
  1. Um número é positivo e o outro é negativo.
  2. Pelo menos um dos números é zero.
Então, precisamos identificar onde no plano isso acontece.

Passo 3

Vamos dividir o plano cartesiano em quatro quadrantes, conforme os sinais de e :
  • Primeiro quadrante: e
  • Segundo quadrante: e
  • Terceiro quadrante: e
  • Quarto quadrante: e
Vamos ver em quais quadrantes o produto é menor ou igual a zero.

Passo 4

No Primeiro quadrante, e são ambos positivos, então . Não está na região que queremos.
No Segundo quadrante, é negativo e é positivo, então . Essa região está dentro do que buscamos.
No Terceiro quadrante, e são ambos negativos, então . Também não está na região desejada.
No Quarto quadrante, é positivo e é negativo, então . Essa região também está dentro do que queremos.

Passo 5

Além dos quadrantes onde , precisamos considerar os eixos onde ou . Nesses casos, , que também satisfaz . Portanto, os eixos e também fazem parte da região que estamos determinando.

Resposta

As regiões do plano onde são:
  • O Segundo quadrante ( e )
  • O Quarto quadrante ( e )
  • Os eixos das abscissas ( ) e ordenadas ( )
Visualmente, isso corresponde aos quadrantes onde os sinais de e são diferentes, além dos eixos.

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