Determine o ponto
do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos
e
e que sua distância ao ponto
é
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto
no plano que está na reta que passa pelos pontos
e
, e que está a uma distância de
do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e a fórmula da distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos
e
. Para isso, vamos calcular o coeficiente angular
da reta, que representa a inclinação dela. A fórmula para encontrar
é:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular
é
.
Passo 3
Com o coeficiente angular conhecido, podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos usar o ponto
para substituir na equação:
Distribuindo o
:
Agora, isolando
:
Então, a equação da reta é:
Passo 4
Sabendo que o ponto
está nessa reta, podemos expressar
em função de
:
Passo 5
Agora, queremos que a distância entre
e
seja
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo
,
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, substituímos
pela expressão que encontramos na equação da reta:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Substituindo na equação:
Passo 8
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Então, as soluções são:
Passo 10
Finalmente, encontramos os valores de
correspondentes usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos
que satisfazem as condições são
e
.