Determine o ponto do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos e e que sua distância ao ponto é . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano que está na reta que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e a fórmula da distância entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos calcular o coeficiente angular da reta, que representa a inclinação dela. A fórmula para encontrar é:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular é .
Passo 3
Com o coeficiente angular conhecido, podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos usar o ponto para substituir na equação:
Distribuindo o :
Agora, isolando :
Então, a equação da reta é:
Passo 4
Sabendo que o ponto está nessa reta, podemos expressar em função de :
Passo 5
Agora, queremos que a distância entre e seja . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo , e :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, substituímos pela expressão que encontramos na equação da reta:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 7
Vamos expandir os termos:
Substituindo na equação:
Passo 8
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ():
Então, as soluções são:
Passo 10
Finalmente, encontramos os valores de correspondentes usando a equação da reta :