Determine o ponto P do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos (1,2) e (3,-1) e que sua distância ao ponto (4,1) é raiz10. Resp.: (1,2),(4913,-2813).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano que está na reta que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos m = y2 - y1x2 - x1 e m = -1 - 23 - 1 = -32 . Para isso, vamos calcular o coeficiente angular da reta, que representa a inclinação dela. A fórmula para encontrar é:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular é .

Passo 3

Com o coeficiente angular conhecido, podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Vamos usar o ponto y - 2 = -32(x - 1) para substituir na equação:
y - 2 = -32x + 32
Distribuindo o y = -32x + 72 :
y = -32x + 72
Agora, isolando :
Então, a equação da reta é:

Passo 4

Sabendo que o ponto y = -32x + 72 está nessa reta, podemos expressar em função de :

Passo 5

Agora, queremos que a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e raiz(4 - x)^2 + (1 - y)^2 = raiz10 seja (4 - x)^2 + (1 - y)^2 = 10 . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo , e :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, substituímos (4 - x)^2 + (1 - (-32x + 72))^2 = 10 pela expressão que encontramos na equação da reta:
(4 - x)^2 + (32x - 52)^2 = 10
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 7

Vamos expandir os termos:
(4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2
(32x - 52)^2 = 94x^2 - 152x + 254
Substituindo na equação:
16 - 8x + x^2 + 94x^2 - 152x + 254 = 10

Passo 8

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
64 - 32x + 4x^2 + 9x^2 - 30x + 25 = 40
Simplificando:
13x^2 - 62x + 89 = 40
13x^2 - 62x + 49 = 0

Passo 9

Agora, resolvemos a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde raizDe, x = 62 pm 3626 e x1 = 9826 = 4913 . Calculando o discriminante ( x2 = 2626 = 1 ):
Então, as soluções são:

Passo 10

Finalmente, encontramos os valores de y = -32 cdot 4913 + 72 = -14726 + 9126 = -5626 = -2813 correspondentes usando a equação da reta y = -32 cdot 1 + 72 = -32 + 72 = 42 = 2 :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos que satisfazem as condições são e .

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