Determine o ponto do plano sabendo-se que tal ponto pertence à reta que contém os pontos e e que sua distância ao ponto é . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto no plano que está na reta que passa pelos pontos e , e que está a uma distância de do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos calcular o coeficiente angular da reta, que representa a inclinação dela. A fórmula para encontrar é:
Substituindo os valores dos pontos:
Então, o coeficiente angular é .

Passo 3

Com o coeficiente angular conhecido, podemos usar a equação geral da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos usar o ponto para substituir na equação:
Distribuindo o :
Agora, isolando :
Então, a equação da reta é:

Passo 4

Sabendo que o ponto está nessa reta, podemos expressar em função de :

Passo 5

Agora, queremos que a distância entre e seja . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo , e :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, substituímos pela expressão que encontramos na equação da reta:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 7

Vamos expandir os termos:
Substituindo na equação:

Passo 8

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante ( ):
Então, as soluções são:

Passo 10

Finalmente, encontramos os valores de correspondentes usando a equação da reta :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos que satisfazem as condições são e .

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