Calcule e considerando

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o módulo de , que é , e o quadrado de , que é . Estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma imaginária. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações de números complexos e usar algumas fórmulas básicas de álgebra dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de :
Aqui, representa a unidade imaginária (às vezes escrita como ). Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado:
Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador, facilitando os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
Lembre-se que .

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador:
Simplificando cada termo:
Como :

Passo 6

Agora temos:
Então, .

Passo 7

Para encontrar o módulo de , usamos a fórmula:
á
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 8

Calculando o módulo:

Passo 9

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Então:
Usando a fórmula :

Passo 10

Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

O módulo de é e o quadrado de é .

Exercícios relacionados

Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma cartesiana
Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo indica parte imaginária de.
Calcule: