Calcule
e
considerando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o módulo de
, que é
, e o quadrado de
, que é
. Estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma imaginária. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações de números complexos e usar algumas fórmulas básicas de álgebra dos números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
:
Aqui,
representa a unidade imaginária (às vezes escrita como
). Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 3
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado:
Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador, facilitando os cálculos.
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro:
Lembre-se que
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o numerador:
Simplificando cada termo:
Como
:
Passo 6
Agora temos:
Então,
.
Passo 7
Para encontrar o módulo de
, usamos a fórmula:
Aqui, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 8
Calculando o módulo:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Então:
Usando a fórmula
:
Passo 10
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O módulo de
é
e o quadrado de
é
.
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Considerando
e o seu complexo conjugado
, mostre que:
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma cartesiana
Converta-os para a forma cartesiana
Considerando
e o seu complexo conjugado
, mostre que:
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo indica parte imaginária de.
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo
Calcule: