Calcule |z| e z^2 considerando z=2+j-1+j 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o módulo de , que é , e o quadrado de , que é . Estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma imaginária. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações de números complexos e usar algumas fórmulas básicas de álgebra dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de z = 2 + j-1 + j2 :
Aqui, representa a unidade imaginária (às vezes escrita como ). Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado:
z = (2 + j)(-1 - j2)(-1 + j2)(-1 - j2)
Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador, facilitando os cálculos.

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
(-1 + j2)(-1 - j2) = (-1)^2 - (j2)^2 = 1 - (j^2 cdot 4) = 1 - (-1 cdot 4) = 1 + 4 = 5
Lembre-se que .

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador:
(2 + j)(-1 - j2) = 2 cdot (-1) + 2 cdot (-j2) + j cdot (-1) + j cdot (-j2)
Simplificando cada termo:
= -2 - j4 - j + 2j^2
Como = -2 - j4 - j - 2 = -4 - j5 :

Passo 6

Agora temos:
z = -4 - j55 = -45 - j55 = -45 - j
Então, .

Passo 7

Para encontrar o módulo de |z| = raiz(parte real)^2 + (parte imaginária)^2 , usamos a fórmula:
á
Aqui, a parte real é e a parte imaginária é .

Passo 8

Calculando o módulo:
|z| = raiz(-45)^2 + (-1)^2 = raiz1625 + 1 = raiz1625 + 2525 = raiz4125 = raiz415

Passo 9

Agora, vamos calcular z = -45 - j . Sabemos que:
z^2 = (-45 - j)^2
Então:
z^2 = (-45)^2 + 2 cdot (-45) cdot (-j) + (-j)^2
Usando a fórmula :

Passo 10

Calculando cada termo:
(-45)^2 = 1625
2 cdot (-45) cdot (-j) = 85j
(-j)^2 = j^2 = -1
Somando tudo:
z^2 = 1625 + 85j - 1 = (1625 - 1) + 85j = -925 + 85j

Resposta

O módulo de é e o quadrado de é .

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