Considerando z=a+j b=r e^j theta e o seu complexo conjugado z^*=a-j b=e^-j theta, mostre que: z z^*=r^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos. A gente vai trabalhar com a forma algébrica e a forma polar dos números complexos. Pra isso, vamos precisar entender o que são o número complexo, o conjugado dele e como multiplicar essas formas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Ele pode ser escrito na forma z = a + jb, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Também podemos escrever na forma polar: z = r e^jtheta, onde r é o módulo (ou magnitude) do número complexo e theta é o argumento (ou ângulo).

Passo 3

O conjugado de um número complexo z = a + jb é z^* = a - jb. Na forma polar, o conjugado fica z^* = r e^-jtheta. Isso basicamente inverte o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Agora, queremos mostrar que z z^* = r^2. Vamos multiplicar as formas polares de z e z^*:
z z^* = (r e^jtheta)(r e^-jtheta)

Passo 5

Para multiplicar essas expressões, usamos a propriedade dos exponentes que diz e^jtheta cdot e^-jtheta = e^jtheta - jtheta = e^0 = 1. Então:
z z^* = r cdot r cdot 1 = r^2

Resposta

Portanto, mostramos que z z^* = r^2.

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