Considerando
e o seu complexo conjugado
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos. A gente vai trabalhar com a forma algébrica e a forma polar dos números complexos. Pra isso, vamos precisar entender o que são o número complexo, o conjugado dele e como multiplicar essas formas diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Ele pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Também podemos escrever na forma polar:
, onde
é o módulo (ou magnitude) do número complexo e
é o argumento (ou ângulo).
Passo 3
O conjugado de um número complexo
é
. Na forma polar, o conjugado fica
. Isso basicamente inverte o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
. Vamos multiplicar as formas polares de
e
:
Passo 5
Para multiplicar essas expressões, usamos a propriedade dos exponentes que diz
. Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma cartesiana
Converta-os para a forma cartesiana
Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Converta-os para a forma polar (
Calcule
e
considerando
Considerando
e o seu complexo conjugado
, mostre que:
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo indica parte imaginária de.
O símbolo Re[ ] indica parte real de e o símbolo